Equazione differenziale - Esame Analisi I Ingegneria

[AndreaC891]

Buongiorno a tutti! Ho un problema con questa equazione differenziale, che non riesco a risolvere:



Allora, ho iniziato trattandola come una eq. differenziale di 1° ordine, a variabili separabili:

$int1/(1-7e^(-y))dy=int6x^2dx$

Poi:

$int(1-7e^(-y)+7e^(-y))/(1-7e^(-y))dy=2x^3+C$

$int1*dy+int(7e^(-y))/(1-7e^(-y))dy=2x^3+C$

$y+log|1-7e^(-y)|=2x^3+C$

$y+log|1-7/e^y|=2x^3+C$

Quindi inserisci i valori $x=0$ e $y=log8$:

$log8 + log|1-7/8|=C$

$log8 + log(1/8)=C$

$0=C$

Ora che ho trovato $C=0$:

$y=2x^3 - log|1-7/(e^y)|$


Mentre il risultato dell'esercizio dovrebbe essere: $y=log(e^(2x^3)+7)$

Dove ho sbagliato??

Un enorme grazie a chiunque riesca a darmi una mano! e complimenti per il sito!

~ Andrea

[pater46]

Vedi che il risultato è lo stesso. Devi solo esprimere tutto in funzione di y.

$2x^3 = lne^y + ln(1-7/e^y)$

$2x^3 = ln [ e^y - 7e^y/e^y ] = ln [e^y - 7]$

$e^(2x^3) = e^y - 7$

$e^y = e^(2x^3) +7$

$y=ln( e^(2x^3) + 7)$

[Mathcrazy]

Probabilmente non ti toglierà nulla il tuo prof, dal momento che hai solo "dimenticato" di esplicitare la y;ma comunque anche quell'espressione è esatta; quindi stai tranquillo..

[AndreaC891]

Cavoli, non me ne ero accorto! (ok, con log ed esponenziali non me la cavo troppo bene )
Grazie mille!!

Comunque, mi è venuto un dubbio su un passaggio che ho fatto:

$int(7e^(-y))/(1-7e^(-y))$ --> $log|1-7e^(-y)|$

La derivata che ho al dividendo, in pratica, è $7e^(-y)$, mentre al divisore richiede la derivata di $-7e^(-y)$, quindi avrei dovuto aver bisogno di un $-$.
Mi sarebbe quindi dovuto venire $-log|1-7e^(-y)|$. O sbaglio?

(Spero abbiate capito cosa intendo! )

[pater46]

No avevi fatto correttamente. La derivata di quel denominatore è:

$D( 1 - 7e^(-y)) = -7 D( e^(-y) ) = -7 e^(-y) D(-y) = -7e^(-y) \cdot (-1) = 7e^(-y)$

[AndreaC891]

Ti ringrazio

Buona serata!

[deserto1]

Da
$y=log(e^(2x^3)+7)$
si vede subito che nel testo c'è un errore nel codominio: risulta $y:RR -> (log (7), +\infty)$