Equazione differenziale ed esistenza massimale
Salve,
ho questo problema, che so vedere ma non so dimostrare (tanto per cambiare)
Allora data l'equazione differenziale [tex]y'=\frac{sin\ y}{x^2+y^2}[/tex]
1) si dica per quali dati iniziali ammette un'unica soluzione locale:
vedo che le soluzioni costanti sono del tipo [tex]sin y=0[/tex] e quindi [tex]y=k\pi \con \ k\in \mathbb{Z}[/tex] dunque dunque il teorema di cauchy è soddisfatto tranne che per i dati iniziali [tex]y(x_0)=k\pi, k \in \mathbb{Z}[/tex], questo è giusto? inoltre la soluzione non esiste nel punto (0,0)
2)Si dimostri che l'intervallo di esistenza massimale della solzione di dato iniziale y(1)=1 è illimitato a destra, e che tale intervallo è proprio [tex](-\infty,+ \infty)[/tex]
Sinceramente non so come fare: disegnando la soluzione vedo che tutte le soluzioni sono tutte comprese appunto nelle strisce [tex]y=k\pi[/tex] e che quindi il loro tempo massimale di esistenza va da [tex](-\infty,+ \infty)[/tex], però non so come fare i conti, qualcuno mi può aiutare?
grazie mille ...
ho questo problema, che so vedere ma non so dimostrare (tanto per cambiare)
Allora data l'equazione differenziale [tex]y'=\frac{sin\ y}{x^2+y^2}[/tex]
1) si dica per quali dati iniziali ammette un'unica soluzione locale:
vedo che le soluzioni costanti sono del tipo [tex]sin y=0[/tex] e quindi [tex]y=k\pi \con \ k\in \mathbb{Z}[/tex] dunque dunque il teorema di cauchy è soddisfatto tranne che per i dati iniziali [tex]y(x_0)=k\pi, k \in \mathbb{Z}[/tex], questo è giusto? inoltre la soluzione non esiste nel punto (0,0)
2)Si dimostri che l'intervallo di esistenza massimale della solzione di dato iniziale y(1)=1 è illimitato a destra, e che tale intervallo è proprio [tex](-\infty,+ \infty)[/tex]
Sinceramente non so come fare: disegnando la soluzione vedo che tutte le soluzioni sono tutte comprese appunto nelle strisce [tex]y=k\pi[/tex] e che quindi il loro tempo massimale di esistenza va da [tex](-\infty,+ \infty)[/tex], però non so come fare i conti, qualcuno mi può aiutare?
grazie mille ...
Risposte
1) No, no, stai facendo molta confusione. L'analisi che stai conducendo tu serve a trovare le soluzioni costanti: infatti se $sin(y_0)=0$, allora vedi subito che la funzione costante $y(x)=y_0$ verifica la tua equazione differenziale con condizione iniziale $y(x_0)=y_0$ (qualunque sia $x_0$). Ma non è questo che ti è stato chiesto, quindi metti da parte questo discorso.
Tu devi trovare le condizioni iniziali (e non le soluzioni, hai anche sbagliato a trascrivere la traccia e ti prego di correggere usando il pulsante MODIFICA) per le quali sei tranquillo che sono verificate le ipotesi del teorema di esistenza e unicità locale. Ti ricordo che una condizione iniziale è una coppia $(x_0, y_0)$.
Tu devi trovare le condizioni iniziali (e non le soluzioni, hai anche sbagliato a trascrivere la traccia e ti prego di correggere usando il pulsante MODIFICA) per le quali sei tranquillo che sono verificate le ipotesi del teorema di esistenza e unicità locale. Ti ricordo che una condizione iniziale è una coppia $(x_0, y_0)$.
e allora mi sa che non ci arrivo:
so che perchè sia soddisfatto il teorema di cauchy per una [tex]y'=f(x,y)[/tex] deve essere
a) definita e continua in un intorno del punto [tex](x_0, y_0)[/tex]: e questo mi sembra che sia soddisfatto, a meno di torvarsi vicini a (0,0)
b) sia lipschitziana rispetto alla variabile y, cioè
[tex]|f(x,y_1)-f(x,y_2)}|\ \leq\ L|{y_1-y_2}|[/tex]
e qui che faccio?
grazie mille ...
so che perchè sia soddisfatto il teorema di cauchy per una [tex]y'=f(x,y)[/tex] deve essere
a) definita e continua in un intorno del punto [tex](x_0, y_0)[/tex]: e questo mi sembra che sia soddisfatto, a meno di torvarsi vicini a (0,0)
b) sia lipschitziana rispetto alla variabile y, cioè
[tex]|f(x,y_1)-f(x,y_2)}|\ \leq\ L|{y_1-y_2}|[/tex]
e qui che faccio?
grazie mille ...
La lipschitzianità in $y$ è in genere complicata da verificare, operativamente. Se vuoi verificare direttamente la definizione dovresti trovare anche le costanti di Lipschitz e quando hai a che fare con funzioni non lineari (come in questo caso) può essere un problema complicato. Ma c'è una condizione teorica spesso semplice da verificare che implica subito la Lipschitzianità (locale). Quale? Cerca bene sul tuo libro di analisi perché è una nota che di sicuro viene fatta.
l'unica cosa che ho trovato, che è più forte della lipschitzianità ma anche più facile da calcolare è il fatto che la derivata rispetto alla y di f(x,y) sia continua nel punto in cui ho il dato iniziale, se lo applico al mio caso
[tex]\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=\frac{cos\ y(x^2+y^2)-2ysin\ y}{(x^2+y^2)^2}[/tex]
e si vede facilmente che questa derivata è tranquillamente continua in tutto il dominio della f (ovviamente togliendo l'origine, ma lo avevamo già detto all'inizio).
È questo o c'è qualcos'altro?
Grazie mille ancora ...
[tex]\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=\frac{cos\ y(x^2+y^2)-2ysin\ y}{(x^2+y^2)^2}[/tex]
e si vede facilmente che questa derivata è tranquillamente continua in tutto il dominio della f (ovviamente togliendo l'origine, ma lo avevamo già detto all'inizio).
È questo o c'è qualcos'altro?
Grazie mille ancora ...
Esatto.
"dissonance":
Esatto.
Grazie mille, mi hai fatto veramente capire una cosa che mi era arcana fino a questa mattina ...
se ti posso disturbare ancora per il punto 2), ovvero l'esistenza massimale, a parte disegnare la f(x,y) e vedere che per i dati iniziali buoni le soluzioni vanno da [tex](-\infty, +\infty)[/tex] posso fare in qualche altro modo?
grazie ...
Quella di osservare che le soluzioni sono strette tra le soluzioni costanti che hai individuato è una ottima idea. Ti serve poi un teorema (che di solito si dà senza dimostrazione): quando una equazione differenziale $y'=f(x, y)$ verifica condizioni di esistenza e unicità locale, l'unica maniera che una soluzione ha per cessare di esistere in un tempo finito è quella di uscire dal dominio di $f$. In questo caso $f$ è definita ovunque a destra di $x=1$, quindi l'unica maniera che la tua soluzione di dato iniziale $(1, 1)$ ha di cessare di esistere in un tempo finito (a destra) è quella di "esplodere", ovvero di andarsene a $+infty$ o a $-infty$. Ma per fare questo la soluzione dovrebbe intersecare una delle due soluzioni costanti. E questo non può succedere... perché? Concludi che la soluzione è definita ovunque a destra di $x=1$.
Una alternativa meccanica (e più brutta) è quella di verificare che $f$ è nelle ipotesi di un teorema di esistenza e unicità globale (o, come dice Rigel, un teorema di unicità e di esistenza globale). Qui però dipende da come questi teoremi ti sono stati enunciati. Ne esistono più versioni diverse, non equivalenti.
Una alternativa meccanica (e più brutta) è quella di verificare che $f$ è nelle ipotesi di un teorema di esistenza e unicità globale (o, come dice Rigel, un teorema di unicità e di esistenza globale). Qui però dipende da come questi teoremi ti sono stati enunciati. Ne esistono più versioni diverse, non equivalenti.
tanto per vedere se ho capito (magari in futuro quest'esercizio tornerà utile a qualcuno):
data l'equazione differenziale
[tex]y'=\frac{cos(x+y)}{-y}-1[/tex] per quali dati iniziali le ipotesi del teorema di Cauchy sono verificate?
allora: innanzitutto il dominio della funzione è [tex]y\not=0[/tex]
poi affinchè valga il teorema di Cauchy uso di nuovo la condizione forte che [tex]\frac{\partial f}{\partial y}[/tex] sia continua, quanto meno nel dominio della funzione
[tex]f(x,y)= \frac{cos(x+y)}{-y}-1 \\
\frac{\partial f}{\partial y}= \frac{y\ sin(x+y) +\ cos(x+y)}{y^2}[/tex]
e si vede bene che, nel dominio della f (ovvero per [tex]y\not=0[/tex]) questa derivata è continua per ogni coppia [tex](x_0, y_0)[/tex]
c'è qualcosa di sbagliato? grazie ancora, questo forum è meraviglioso ...
data l'equazione differenziale
[tex]y'=\frac{cos(x+y)}{-y}-1[/tex] per quali dati iniziali le ipotesi del teorema di Cauchy sono verificate?
allora: innanzitutto il dominio della funzione è [tex]y\not=0[/tex]
poi affinchè valga il teorema di Cauchy uso di nuovo la condizione forte che [tex]\frac{\partial f}{\partial y}[/tex] sia continua, quanto meno nel dominio della funzione
[tex]f(x,y)= \frac{cos(x+y)}{-y}-1 \\
\frac{\partial f}{\partial y}= \frac{y\ sin(x+y) +\ cos(x+y)}{y^2}[/tex]
e si vede bene che, nel dominio della f (ovvero per [tex]y\not=0[/tex]) questa derivata è continua per ogni coppia [tex](x_0, y_0)[/tex]
c'è qualcosa di sbagliato? grazie ancora, questo forum è meraviglioso ...
"dissonance":
Una alternativa meccanica (e più brutta) è quella di verificare che $f$ è nelle ipotesi di un teorema di esistenza e unicità globale (o, come dice Rigel, un teorema di unicità e di esistenza globale). Qui però dipende da come questi teoremi ti sono stati enunciati. Ne esistono più versioni diverse, non equivalenti.
E purtroppo noi un teorema di esistenza globale lo abbiamo fatto, e non ho mai capito come si applica, dice che:
se valgono le ipotesi di esistenza ed unicità di Cauchy su una striscia[tex]I\ x\ \mathbb{R}[/tex], per ogni k compatto di I esistono due numeri P e Q tali che
[tex]|f(x,y)| \leq P+Q|y|[/tex] Per ogni coppia (x,y) che appartiene alla striscia.
mi potresti dare una mano ad applicarlo al mio caso (anche se vedere le cose è molto meglio ...)
Dai su che non è difficile. Devi, sostanzialmente, fornire delle stime di crescita per $f(x, y)$ con $x$ fissato. Qua puoi anche andare ad occhio. Con quale funzione della sola $y$ puoi stimare il valore assoluto di $|f(x, y)|$ per $x>=1$ (nota che stai indagando l'esistenza di soluzioni globali a destra di $x=1$)?
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