Equazione differenziale e traiettorie ortogonali alle soluzioni
ciao a tutti, spero di scrivere nella sezione corretta.
mi trovo alle prese con un equazione differenziale esatta con fattore integrabile, che è questa:
$ (sin y + y^2 sin x)dx + (x cos y − 2y cos x)dy=0 $
sono riuscito a trovare l'integrale generale, che è:
$ f(x,y) = x sin y − y^2 cos x + A $
il problema salta fuori quando mi si chiede di trovare "l'equazione differenziale le qui traiettorie sono ortogonali alle soluzioni che ho trovato per l'equazione differenziale iniziale".
qualcuno è in grado di piegarmi in dettaglio cosa fare, perchè io brancolo nel buio più totale.
mi trovo alle prese con un equazione differenziale esatta con fattore integrabile, che è questa:
$ (sin y + y^2 sin x)dx + (x cos y − 2y cos x)dy=0 $
sono riuscito a trovare l'integrale generale, che è:
$ f(x,y) = x sin y − y^2 cos x + A $
il problema salta fuori quando mi si chiede di trovare "l'equazione differenziale le qui traiettorie sono ortogonali alle soluzioni che ho trovato per l'equazione differenziale iniziale".
qualcuno è in grado di piegarmi in dettaglio cosa fare, perchè io brancolo nel buio più totale.
Risposte
Le traiettorie ortogonali di una famiglia di curve (piane) sono le curve che, nei punti di intersezione con qualche curva della famiglia, sono ortogonali a quest' ultima. Detto altrimenti, sono le curve tali che la tangente ad esse, in ciascuno dei punti d'intersezione anzidetti, risulta perpendicolare alla tangente alla corrispondente curva della famiglia. Detto questo, veniamo ai calcoli.
Sia $(1) f(x,y,A)= $ (con A parametro variabile ) l'equazione della famiglia di curve e la $(2) g(x,y)=0$ l'equazione delle traiettorie cercate. Derivando rispetto ad x la (1) e la (2) e considerando in entrambe le equazioni la y come funzione di x [$y=y(x)$], risulta ( con ovvio significato dei simboli):
$f_x(x,y,A)+f_y(x,y,A) y'_f$=0
$g_x(x,y)+g_y(x,y)y'_g$=0
Da qui si ha :
(3) $y'_f=-{f_x(x,y,A)}/{f_y(x,y,A)}$ [coefficiente angolare della tangente alla curva generica della famiglia nel generico punto (x,y)]
(4)$y'_g=-{g_x(x,y)}/{g_y(x,y)}$ [coefficiente angolare della tangente alla generica traiettoria ortogonale nel generico punto (x,y)]
Come si è detto le tangenti in questioni devono essere perpendicolari e dunque :
$y'_f cdot y'_g=-1$
Ovvero per le (3) ,(4) :
$f_x cdot g_x +f_y cdot g_y=0$
E questa è l'equazione differenziale richiesta. Nel caso in questione devi tener conto che è :
$f(x,y,A)= xsiny -y^2cosx +A$
Sia $(1) f(x,y,A)= $ (con A parametro variabile ) l'equazione della famiglia di curve e la $(2) g(x,y)=0$ l'equazione delle traiettorie cercate. Derivando rispetto ad x la (1) e la (2) e considerando in entrambe le equazioni la y come funzione di x [$y=y(x)$], risulta ( con ovvio significato dei simboli):
$f_x(x,y,A)+f_y(x,y,A) y'_f$=0
$g_x(x,y)+g_y(x,y)y'_g$=0
Da qui si ha :
(3) $y'_f=-{f_x(x,y,A)}/{f_y(x,y,A)}$ [coefficiente angolare della tangente alla curva generica della famiglia nel generico punto (x,y)]
(4)$y'_g=-{g_x(x,y)}/{g_y(x,y)}$ [coefficiente angolare della tangente alla generica traiettoria ortogonale nel generico punto (x,y)]
Come si è detto le tangenti in questioni devono essere perpendicolari e dunque :
$y'_f cdot y'_g=-1$
Ovvero per le (3) ,(4) :
$f_x cdot g_x +f_y cdot g_y=0$
E questa è l'equazione differenziale richiesta. Nel caso in questione devi tener conto che è :
$f(x,y,A)= xsiny -y^2cosx +A$
grazie mille...ho smanettato un po con la funzione ho trovato come soluzione questa:
$ (x cosy - 2y cosx)dx - (siny + y^2 sinx)dy = 0 $
secondo te può essere corretta?
$ (x cosy - 2y cosx)dx - (siny + y^2 sinx)dy = 0 $
secondo te può essere corretta?
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