Equazione differenziale e limite
ciao a tutti, ho un problema a svolgere un equazione differenziale spero che mi possiate aiutare:
y"'(x)- 3y'(x)-18y(x)=11 e^(-2x)
si deve determinare l'integrale generale e le (eventuali) soluzioni che verificano le condizioni
y(0)=0
e il lim di x che tende a +infinito di y(x)=0
l'integrale generale l'ho trovato ed è y(x)= [C1 e ^(-3x)] + [C2 e^(6x)] - [(11/8)e^(-2x)]
spero sia comprensibile
il mio problema è nell'applicare le condizioni, non so bene come procedere ho provato a svolgere il limite ma non mi viene
qualcuno saprebbe aiutarmi a svolgere passo passo quest'ultima parte?
vi ringrazio in anticipo
y"'(x)- 3y'(x)-18y(x)=11 e^(-2x)
si deve determinare l'integrale generale e le (eventuali) soluzioni che verificano le condizioni
y(0)=0
e il lim di x che tende a +infinito di y(x)=0
l'integrale generale l'ho trovato ed è y(x)= [C1 e ^(-3x)] + [C2 e^(6x)] - [(11/8)e^(-2x)]
spero sia comprensibile
il mio problema è nell'applicare le condizioni, non so bene come procedere ho provato a svolgere il limite ma non mi viene
qualcuno saprebbe aiutarmi a svolgere passo passo quest'ultima parte?
vi ringrazio in anticipo
Risposte
Comincia a scrivere le formule bene, se no non si capisce niente.
Ciao. Sicuro sia quello l'integrale generale? Ci dovrebbero essere tre parametri $C_i$ dato che la EDO è del terzo ordine ...
Per determinare le funzioni che soddisfano anche la condizione $y(0)=0$ devi sostituire, appunto, $0$ in $y(x)$ e porre uguale a $0$; tali soluzioni dovrebbero essere $\infty^2$.
In ogni caso cerca di usare le formule, altrimenti è difficile interpretare quello che scrivi...
Per determinare le funzioni che soddisfano anche la condizione $y(0)=0$ devi sostituire, appunto, $0$ in $y(x)$ e porre uguale a $0$; tali soluzioni dovrebbero essere $\infty^2$.
In ogni caso cerca di usare le formule, altrimenti è difficile interpretare quello che scrivi...
y"(x)-3y'(x) -18y(x) =11 $ e^{-2x} $
le condizioni sono y(0)=0 e $ lim_( -> <+\infty>) $
l'integrale generale è y(x)= C1 $ e^{-3x} $ +C2 $ e^{6x} $ -(11/8) $ e^{<-2x>} $
dell'equazione data bisogna determinare l'integrale generale che ho riportato qui sopra e le (eventuali) soluzioni che verificano le condizioni sopra scritte.
il mio problema è lo svolgimento per trovale le soluzioni che verificano le condizioni
le condizioni sono y(0)=0 e $ lim_(
l'integrale generale è y(x)= C1 $ e^{-3x} $ +C2 $ e^{6x} $ -(11/8) $ e^{<-2x>} $
dell'equazione data bisogna determinare l'integrale generale che ho riportato qui sopra e le (eventuali) soluzioni che verificano le condizioni sopra scritte.
il mio problema è lo svolgimento per trovale le soluzioni che verificano le condizioni
il limite è il seguente
$ lim_(x -> <+\infty>) $ y(x)=0
errore di dicitura all'inizio scusate è di secondo ordine,ho provato a riscriverlo con le formule spero che adesso si capisca meglio...
$ lim_(x -> <+\infty>) $ y(x)=0
errore di dicitura all'inizio scusate è di secondo ordine,ho provato a riscriverlo con le formule spero che adesso si capisca meglio...
Provo a scriverle io per te.
$ y''-3y'-18y=11e^(-2x) $
$ y(0)=0 $
$ lim_(x -> oo ) y(x)=0 $
Per calcolarti le costanti devi applicare le ultime due relazioni. La prima è banale, mentre la seconda devi fare il limite molto semplicemente e calcolarti l'altra costante.
EDIT
Ho modificato l'equazione perchè ho scritto erroneamente che fosse del terzo ordine.
$ y''-3y'-18y=11e^(-2x) $
$ y(0)=0 $
$ lim_(x -> oo ) y(x)=0 $
Per calcolarti le costanti devi applicare le ultime due relazioni. La prima è banale, mentre la seconda devi fare il limite molto semplicemente e calcolarti l'altra costante.
EDIT
Ho modificato l'equazione perchè ho scritto erroneamente che fosse del terzo ordine.
Ripeto: l'equazione è del terz'ordine, ergo ci sono tre costanti, non due. L'integrale generale dovrebbe essere questo
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y% ... e%28-2x%29
EDIT: non avevo capito che il discorso del limite era da considerare come una condizione. In tal caso le soluzioni dovrebbero essere $\infty$ e non $\infty^2$
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y% ... e%28-2x%29
EDIT: non avevo capito che il discorso del limite era da considerare come una condizione. In tal caso le soluzioni dovrebbero essere $\infty$ e non $\infty^2$
Hai sbagliato a scrivere l'equazione su wolfram. Aggiustala
"avmarshall":
Hai sbagliato a scrivere l'equazione su wolfram. Aggiustala
Hai ragione
vabbè il discorso non cambia...ci sono tre costanti a prescindere...
Io credo che sia di secondo ordine. Se no resta una costante da definire e ci vorrebbe una terza condizione,a meno che non si deve lasciare indicata. Mah, aspettiamo che dice rori in proposito.
"avmarshall":
Io credo che sia di secondo ordine. Se no resta una costante da definire e ci vorrebbe una terza condizione,a meno che non si deve lasciare indicata. Mah, aspettiamo che dice rori in proposito.
Si lo penso anch'io! Anche perchè l'integrale generale che ha dato lui è quello di una EDO del second'ordine
ti ringrazio che mi hai riscritto il testo, mi sono appena iscritta e devo ancora imparare ad usare le formule..
solo l' equazione non inizia con y"' ( tre) ma y" ( due)
solo l' equazione non inizia con y"' ( tre) ma y" ( due)
"avmarshall":
Provo a scriverle io per te.
$ y''-3y'-18y=11e^(-2x) $
$ y(0)=0 $
$ lim_(x -> oo ) y(x)=0 $
Per calcolarti le costanti devi applicare le ultime due relazioni. La prima è banale, mentre la seconda devi fare il limite molto semplicemente e calcolarti l'altra costante.
EDIT
Ho modificato l'equazione perchè ho scritto erroneamente che fosse del terzo ordine.
L'avevo già modificata. Fai quello che ho scritto
ok, ma quando impongo la prima condizione mi rimangono C1 e C2, e poi con il limite trovo una delle due soluzioni?..mi serve una mano a svolgerlo perchè quando impongo la prima condizione alla soluzione ci sono perchè si tratta solo di sostituire,ma poi ho problemi a continuare
Che problemi hai? Sostituendo $0$ in $y(x)$ hai
\[C_1+C_2-\dfrac{11}{8}=0\]
che è la prima equazione che ti serve per determinare le $C_i$. Per la seconda condizione, guardando bene la struttura dell'integrale generale, ti accorgi che il limite vale $0$ se e solo se $C_2=0$, che è la seconda equazione che ci serviva.
Da questo ricavi che $C_1=11/8$ e il gioco è fatto
\[C_1+C_2-\dfrac{11}{8}=0\]
che è la prima equazione che ti serve per determinare le $C_i$. Per la seconda condizione, guardando bene la struttura dell'integrale generale, ti accorgi che il limite vale $0$ se e solo se $C_2=0$, che è la seconda equazione che ci serviva.
Da questo ricavi che $C_1=11/8$ e il gioco è fatto
ci sono tranne ma scusami l'ignoranza ma non capisco come viene C2=0
"rori":
ci sono tranne ma scusami l'ignoranza ma non capisco come viene C2=0
$y(x)$ è costituita da tre termini, giusto? il primo (quello che contiene $C_1$) tende sempre a $0$ per $x\to +\infty$, per qualsiasi valore di $C_1$. L'altro termine (la soluzione particolare) tende pure a zero.
Il termine che contiene $C_2$ tende a $+\infty$ se $C_2>0$, a $-\infty$ se $C_2<0$, mentre è pari a zero (ovviamente) se $C_2=0$. Quindi solo se $C_2=0$ tutti i termini tendono a zero, e dal momento che, come ben sai, il limite di una somma è uguale alla somma dei limti, il tutto tende a $0$. Ci sei ora?
si grazie mille sei stato chiarissimo 
figurati
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