Equazione differenziale e Laplace

[Lord K]

Sto studiando la seguente equazione differenziale:

$y=\int_0^(+oo) e^(k(y-1)t)dN(t)$

devo cercare $y=y(t)$ che la soddisfi. Nei vari tentativi, ho fatto il seguente ragionamento che necessiterebbe di una vostra osservazione (sia $N(t)$ L-trasformabile:

Considero:

$\int_0^(+oo) e^(k(y-1)t)dN(t)=\int_0^(+oo) e^(-st)N'(t)dt = L_u[N'(t)](s)|_(s=k(1-y))$

Dove $L_u$ è la trasformata di laplace unilatera. Da qui:

${(s=k(1-y)),(y=L_u[N'(t)](s)|_(s=k(1-y))):}$

${(y=(1-s/k)),(1-s/k=L_u[N'(t)](s)):}$

$1-s/k=sL_u[N(t)](s)- N(0)$

Sia $s!=0$:

$1/s(1+N(0) - s/k) = L_u[N(t)]$

$N(t) = L_u^(-1)[1/s(1+N(0) - s/k)](t) = [1+N(0)] Theta(t) - 1/kdelta(t)$

Con $Theta(t)$ la funzione di Heavside e con $delta(t)$ la delta di Dirac. Ho infine ricavato una possibile funzione $N(t)$ che soddisfa l'equazione di partenza. Credo che questo risultato sia comunque sbagliato, ma non riesco a capire perchè questo sia completamente indipendente da $y$. Potete cortesemente farmi capire ove falla il mio ragionamento?

Grazie a tutti.

[Eredir]

"Lord K":Considero:

$\int_0^(+oo) e^(-st)N'(t)dt = L_u[N'(t)](s)|_(s=k(1-y))$

Non sono molto esperto di trasformate di Laplace ma questo passaggio non mi sembra molto lecito, visto che il parametro $s$ contiene una funzione che dipende dalla variabile in cui stai integrando; facendo in questo modo mi sembra che tu stia trattando $y(t)$ come fosse una costante. Con questo procedimento sei andato a ricavare una $N(t)$ che soddisfa il problema, mentre invece da quanto ho capito questa dovrebbe essere fissata e dovresti invece cercare la $y(t)$, quindi in questo senso non capisco molto bene il ragionamento.
Detto questo lascio la parola a qualcuno che sia più competente.

[Lord K]

Anzitutto grazie per la risposta

Poi, $s$ non contiene la variabile $t$ quindi dovrei essere nel giusto.

Osserva poi che se io mettessi effettivamente quella $N(t)$ allora qualsiasi $y$ soddisferebbe l'equazione...