Equazione differenziale è importante

[lucia88]

chi può darmi una mano spiengandomi come impostare il problema?
in un lago vi sono inizialmente 1200 kg di pesce che si riproducono con un tasso del 4 % a settimana.ogni settimana vengono pescati 40 kg di pesce.la funzione che descrive l'andamento della quantità di pescenel tempo qual'è?

[gugo82]

[OT]

Si scrive "qual è", senza apostrofo.

[/OT]

Quella che cerchi, più che un'equazione differenziale (che modella fenomeni continui nel tempo), è un'equazione alle differenze (che modella fenomeni discreti).

Chiama $x_n$ i chili di pesce nel tuo specchio d'acqua dopo $n$ settimane.
L'osservazione iniziale, cioè quella fatta per $n=0$, ti informa che $x_0=1200$.
Fissata la settimana $n$, sai che alla settimana ($n+1$)-esima i chili di pesce presenti nella settimana $n$-esima sono aumentati del 4% e che però vengono anche pescati 40 kg di pesce: scrivendo questa cosa con un'equazione, trovi:

$x_(n+1)=x_n + 4/(100) x_n -40 \quad => \quad x_(n+1)=(1+1/(25))x_n-40 \quad => \quad x_(n+1)=(26)/(25) x_n-40$.

Pertanto il tuo sistema è quello descritto dal problema:

$\{ (x_(n+1)=(26)/(25) x_n-40),(x_0=1200):} \quad$.

La soluzione si ricava per ricorrenza.

Ad esempio hai:

$x_1=(26)/(25) x_0-40$
$x_2=(26)/(25) x_1 -40=(26)/(25) ((26)/(25) x_0-40)-40=((26)/(25))^2 x_0-40 ((26)/(25) +1)$
$x_3=(26)/(25) x_2 -40=(26)/(25) [((26)/(25))^2 x_0-40 ((26)/(25) +1)] -40=((26)/(25))^3x_0-40 [((26)/(25))^2+(26)/(25)+1]= ((26)/(25))^3x_0-40 \sum_(h=0)^2 ((26)/(25))^h$
$\ldots$
$x_n=(26)/(25) x_(n-1) -40=\ldots =((26)/(25))^n x_0-40 \sum_(h=0)^(n-1) ((26)/(25))^h \quad$.

Vedi che la sommatoria è la somma parziale $(n-1)$-esima della serie geometrica di ragione $q=(26)/(25)$: per noti fatti, tale somma parziale si esprime con la fomula:

$\sum_(h=0)^(n-1) q^h=(q^n-1)/(q-1)$

che nel tuo caso diviene:

$\sum_(h=0)^(n-1) ((26)/(25))^h=(((26)/(25))^n-1)/((26)/(25)-1)=25 [((26)/(25))^n-1]\quad$;

sostituendo trovi infine:

$x_n= ((26)/(25))^n x_0-40\cdot 25 [((26)/(25))^n-1]=((26)/(25))^n (x_0-1000) +1000 = 200 ((26)/(25))^n +1000\quad$.

Ovviamente i calcoli sono da controllare con attenzione, come pure l'equazione del modello.