Equazione Differenziale Dove ho sbagliato?
Ciao a tutti raga vi posto il mio problema; devo risolvere la seguente equazione differenziale; in cui mi viene richiesto di determinare il più ampio intervallo ove è definita la soluzione:
$y'=e^(x+y)+1$
Il mio primo dubbio è:
come faccio a capire in quale tipologia rientra?
$y'=e^(x+y)+1$
Il mio primo dubbio è:
come faccio a capire in quale tipologia rientra?
Risposte
Equazione del primo ordine nonlineare nonomogenea basta?
Se poi vuoi sapere come risolvere, prova a usare la variabile ausiliaria [tex]$z(x)=x+y(x)$[/tex].
Se poi vuoi sapere come risolvere, prova a usare la variabile ausiliaria [tex]$z(x)=x+y(x)$[/tex].
Grazie 1000 per l'aiuto, sul fatto ke fosse delprimo ordine non vavevo dubbi; quello che non riuscivo a capire era il resto; come lo si capisce che rientra in quella categoria?
Rispondo con una domanda, anche se non sembra educato: e come capisci che [tex]$y^\prime +2y=3\sin x^2$[/tex] è lineare?
Ci sono le definizioni: se non le conosci, o le hai dimenticate, è difficile andare avanti.
Leggiti la definizione di equazione lineare sul libro e cerca di immaginare quando l'equazione è detta nonlineare.
Ci sono le definizioni: se non le conosci, o le hai dimenticate, è difficile andare avanti.
Leggiti la definizione di equazione lineare sul libro e cerca di immaginare quando l'equazione è detta nonlineare.
allora quella da te postata capisco che è un equzione lioneare del primo ordine omogenea; perchè è posta nella forma:
$y'=a(x)y+b(x)$ con la differenza che nel caso da te postato il termine $a(x)$ non è una funzione ma una costante.
La mia domanda ora è tra i veri casi che mi sn stati spiegati al corso di anlisi II non riesco a trovare quella riguardante le equazioni non linieari....quindi mi chiedo come si riesce a capire che è quella la sostituzione da fare?
$y'=a(x)y+b(x)$ con la differenza che nel caso da te postato il termine $a(x)$ non è una funzione ma una costante.
La mia domanda ora è tra i veri casi che mi sn stati spiegati al corso di anlisi II non riesco a trovare quella riguardante le equazioni non linieari....quindi mi chiedo come si riesce a capire che è quella la sostituzione da fare?
Allora ho provato a risolvere l'equazione diffrenziale ma ad un certo punto mi sono bloccato:
$y'=e^(x+y)+1$
Pongo $z(x)=x+y(x)$
dopo aver derivato e sostituito ottengo la seguente equaione non lineare a variabili separabili:
$z'(x)=e^(z(x))+2$$=>$$(z'(x))/(e^(z(x))+2)=1$
a questo punto integro sia primo e secondo membro; e risolvendo l'integrale al primo membro tramite la sostituzione $t=e^(z(x))$ ottengo come soluzione:
$1/2ln(e^(z(x)))-1/2ln(e^(z(x))+2)=x+c$
A questo punto devo ricavare $z(x)$ per poi andarla a sostituire nella relazione $y(x)=z(x)-x$; e trovare la soluzione finale.
A questo punto iuo ho ottenuto che $z(x)=ln((2e^(2x+2c))/(1-e^(2x+2c)))$; e quindi infine:
$y(x)=ln((2e^(2x+2c))/(1-e^(2x+2c)))-x$
Ma ho controllato i calcoli con maple e non è corretto;anzi il calcolo delle primitive è corretto l'errore è sicuramente quando vado a ricavare $z(x)$.Potete aiutarmi? Grazie in anticipo.
$y'=e^(x+y)+1$
Pongo $z(x)=x+y(x)$
dopo aver derivato e sostituito ottengo la seguente equaione non lineare a variabili separabili:
$z'(x)=e^(z(x))+2$$=>$$(z'(x))/(e^(z(x))+2)=1$
a questo punto integro sia primo e secondo membro; e risolvendo l'integrale al primo membro tramite la sostituzione $t=e^(z(x))$ ottengo come soluzione:
$1/2ln(e^(z(x)))-1/2ln(e^(z(x))+2)=x+c$
A questo punto devo ricavare $z(x)$ per poi andarla a sostituire nella relazione $y(x)=z(x)-x$; e trovare la soluzione finale.
A questo punto iuo ho ottenuto che $z(x)=ln((2e^(2x+2c))/(1-e^(2x+2c)))$; e quindi infine:
$y(x)=ln((2e^(2x+2c))/(1-e^(2x+2c)))-x$
Ma ho controllato i calcoli con maple e non è corretto;anzi il calcolo delle primitive è corretto l'errore è sicuramente quando vado a ricavare $z(x)$.Potete aiutarmi? Grazie in anticipo.
Raga potete darmi una mano.....
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