Equazione differenziale (difficoltà nell'integrale)
Determinare l'integrale generale della seguente equazione differenziale :
$y'+ysenx=(1+cosx)*senx$
Allora io per risolvere l'esercizio mi risolvo prima l'equazione omogenea associata e trovo come soluzione $y_0=e^cosx$
poi pongo $y_p=gamma*e^cosx$ e quindi $y'_p=gamma'*e^cosx-gamma*senx*e^cosx$
e sostituendo nell'equazione mi trovo $gamma'=((1+cosx)*senx)/(e^cosx)$ e per calcolare gamma devo risolvere l'integrale
ed è qui che non riesco a risolverlo , ho provato a dividerlo e poi risolverlo per parti ma non riesco a trovar un risultato.
Il risultato dovrebbe essere $y=c*e^cosx+2+cosx$ qualcuno riesce ad aiutarmi ?
$y'+ysenx=(1+cosx)*senx$
Allora io per risolvere l'esercizio mi risolvo prima l'equazione omogenea associata e trovo come soluzione $y_0=e^cosx$
poi pongo $y_p=gamma*e^cosx$ e quindi $y'_p=gamma'*e^cosx-gamma*senx*e^cosx$
e sostituendo nell'equazione mi trovo $gamma'=((1+cosx)*senx)/(e^cosx)$ e per calcolare gamma devo risolvere l'integrale
ed è qui che non riesco a risolverlo , ho provato a dividerlo e poi risolverlo per parti ma non riesco a trovar un risultato.
Il risultato dovrebbe essere $y=c*e^cosx+2+cosx$ qualcuno riesce ad aiutarmi ?
Risposte
Ciao Josephine. L'integrale che devi risolvere sembra complicato ma risulta semplice.
In pratica si ha che: $((1+cosx)*senx)/(e^cosx) = (1+cosx)*senx*(e^-cosx)$ Giusto?
Quindi si deve risolvere l'integrale $\int (1+cosx)*senx*(e^-cosx)dx$ . Puoi vedere subito: $senx*(e^-cosx) = f'(x)$ con $f(x) = e^-cosx$.
Puoi quindi integrare per parti assumendo $senx*(e^-cosx) = f'(x)$ e $g(x) = (1+cosx)$.
Troverai che l'integrale alla fine risulta: $e^-cosx*(2+cosx)$.
In pratica si ha che: $((1+cosx)*senx)/(e^cosx) = (1+cosx)*senx*(e^-cosx)$ Giusto?
Quindi si deve risolvere l'integrale $\int (1+cosx)*senx*(e^-cosx)dx$ . Puoi vedere subito: $senx*(e^-cosx) = f'(x)$ con $f(x) = e^-cosx$.
Puoi quindi integrare per parti assumendo $senx*(e^-cosx) = f'(x)$ e $g(x) = (1+cosx)$.
Troverai che l'integrale alla fine risulta: $e^-cosx*(2+cosx)$.
"Albertus16":
Ciao Josephine. L'integrale che devi risolvere sembra complicato ma risulta semplice.
In pratica si ha che: $((1+cosx)*senx)/(e^cosx) = (1+cosx)*senx*(e^-cosx)$ Giusto?
Quindi si deve risolvere l'integrale $\int (1+cosx)*senx*(e^-cosx)dx$ . Puoi vedere subito: $senx*(e^-cosx) = f'(x)$ con $f(x) = e^-cosx$.
Puoi quindi integrare per parti assumendo $senx*(e^-cosx) = f'(x)$ e $g(x) = (1+cosx)$.
Troverai che l'integrale alla fine risulta: $e^-cosx*(2+cosx)$.
Grazie infinite. Sei stato chiarissimo.
Mi bastava solo scriverlo in modo diverso.
Figurati! 
ho un problema simile.
ho un integrale del tipo $gamma=int((e^(2x))/(e^(e^x)))*dx$
ho pensato di risolverlo applicando la sostituzione $e^x=t$ e quindi $dx=dt/t$
quindi mi ritrovo l'integrale $int t/(e^t)*dt$ che risolvo dopo aver risolto per parti e sostutiuto la $t=e^x$ ottengo :
$-e^(-e^x)*(e^x+1)$ ... risultato all'apparenza sbagliato ....
Il risultato corretto dovrebbe essere $-(e^x+1)$
forse devo solo riscriverlo in un altro modo, ma come ? o sbalgio qualcosa ?
ho un integrale del tipo $gamma=int((e^(2x))/(e^(e^x)))*dx$
ho pensato di risolverlo applicando la sostituzione $e^x=t$ e quindi $dx=dt/t$
quindi mi ritrovo l'integrale $int t/(e^t)*dt$ che risolvo dopo aver risolto per parti e sostutiuto la $t=e^x$ ottengo :
$-e^(-e^x)*(e^x+1)$ ... risultato all'apparenza sbagliato ....
Il risultato corretto dovrebbe essere $-(e^x+1)$
forse devo solo riscriverlo in un altro modo, ma come ? o sbalgio qualcosa ?
Il tuo risultato è esatto. Ricontrolla la traccia... Forse è lì il problema!
"pater46":
Il tuo risultato è esatto. Ricontrolla la traccia... Forse è lì il problema!
La traccia era sempre un equazione differenziale, precisamente :
$y'-e^x*y=e^2x$ da cui ho calcolato l'equazione dell'omogenea $y_0=e^(e^x)$ e ho posto $y_p=gamma*e^(e^x)$
da cui poi ho ricavato $gamma=int(e^(2x)/e^(e^x))$ ma non mi trovo con il risultato.
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