Equazione differenziale di terzo ordine
$y(x)'''+y'(x)=x+xe^x$
1.
$y(x)'''+y'(x)=0$
Equazione caratteristica: $k(k^2+1)=0$
a)Trovo soluzione $k_1=0$
b)Trovo discriminante $<$$\Delta$
$\alpha$$=0$, $\beta$$=1$
Integrale generale: $c_1 + c_2senx + c_3cosx$
2.
$y(x)'''+y'(x)=x$
Noto che in $ax^3 + bx^2 + cx + d$, $b=d=0$ (importante sopratutto $d=0$) allora si adotta un equazione di secondo grado $q(x)=ax^2+bx+c$
$q'(x)=2ax+b$, $q''(x)=2a$, $q'''(x)=0$ sostituisco nell'equazione differenziale
$2ax+b=x$ quindi $a=1/2$, $b=0$ sostituisco in $q(x)$ e viene $q(x)=1/2x^2 + c_4$
$c_1$ e $c_4$ li unisco in $c_1$
3.
$y(x)'''+y'(x)=xe^$\alpha$x$ con $\alpha$$=1$
Noto che non vi è risonanza, per cui adotto $q(x)=Ax^2+Be^$$\alpha$$x$ ($x^2$ per il discorso di prima)
$q'(x)=2Ax+Be^x$, $q''(x)=2A+Be^x$, $q'''(x)=Be^x$
Sostituisco nell'equazione differenziale, per trovare $A$ e $B$
$A=1/2$, $B=1/2$
Soluzione $1/2x^2+1/2e^x$
4.
Soluzione totale:
$c_1 + c_2senx + c_3cosx+1/2x^2+1/2x^2+1/2e^x$
Apparte i conti, (potrebbero esserci qualche errore di distrazione) il procedimento è giusto?
Inoltre mi potete dare qualche link che tratta in modo palese equazioni differenziali di terzo ordine?
1.
$y(x)'''+y'(x)=0$
Equazione caratteristica: $k(k^2+1)=0$
a)Trovo soluzione $k_1=0$
b)Trovo discriminante $<$$\Delta$
$\alpha$$=0$, $\beta$$=1$
Integrale generale: $c_1 + c_2senx + c_3cosx$
2.
$y(x)'''+y'(x)=x$
Noto che in $ax^3 + bx^2 + cx + d$, $b=d=0$ (importante sopratutto $d=0$) allora si adotta un equazione di secondo grado $q(x)=ax^2+bx+c$
$q'(x)=2ax+b$, $q''(x)=2a$, $q'''(x)=0$ sostituisco nell'equazione differenziale
$2ax+b=x$ quindi $a=1/2$, $b=0$ sostituisco in $q(x)$ e viene $q(x)=1/2x^2 + c_4$
$c_1$ e $c_4$ li unisco in $c_1$
3.
$y(x)'''+y'(x)=xe^$\alpha$x$ con $\alpha$$=1$
Noto che non vi è risonanza, per cui adotto $q(x)=Ax^2+Be^$$\alpha$$x$ ($x^2$ per il discorso di prima)
$q'(x)=2Ax+Be^x$, $q''(x)=2A+Be^x$, $q'''(x)=Be^x$
Sostituisco nell'equazione differenziale, per trovare $A$ e $B$
$A=1/2$, $B=1/2$
Soluzione $1/2x^2+1/2e^x$
4.
Soluzione totale:
$c_1 + c_2senx + c_3cosx+1/2x^2+1/2x^2+1/2e^x$
Apparte i conti, (potrebbero esserci qualche errore di distrazione) il procedimento è giusto?
Inoltre mi potete dare qualche link che tratta in modo palese equazioni differenziali di terzo ordine?
Risposte
Non sono troppo sicuro del passo 3.
hai un termine noto del tipo: $p(x)e^(\lambdax)$, con $p(x)$ un polinomio (anzi un monomio) di grado 1, e $\lambda =1$. Quest' ultimo non è soluzione dell' omogenea, quindi la forma della soluzione particolare è: $e^(\lambdax)(Ax + B)$, cioè non aumenta il grado del polinomio moltiplicato all' esponenziale.
hai un termine noto del tipo: $p(x)e^(\lambdax)$, con $p(x)$ un polinomio (anzi un monomio) di grado 1, e $\lambda =1$. Quest' ultimo non è soluzione dell' omogenea, quindi la forma della soluzione particolare è: $e^(\lambdax)(Ax + B)$, cioè non aumenta il grado del polinomio moltiplicato all' esponenziale.
"Marcomix":Prova un po' qui:
Inoltre mi potete dare qualche link che tratta in modo palese equazioni differenziali di terzo ordine?
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/ ... Order.aspx
Ma ti dico subito, quelle pagine specifiche non le ho lette quindi non ti so dare un parere. E un'altra cosa: se studi Matematica e non sei abituato a leggere metodi urang-utang, lascia perdere tutto quel sito.
il punto 4. invece potrebbe essere cosi?
$q(x)=(Ax^2+Bx+C)e^x$
e di questo trovo la derivata prima seconda e terza!?
Per favore rispondetemi!
$q(x)=(Ax^2+Bx+C)e^x$
e di questo trovo la derivata prima seconda e terza!?
Per favore rispondetemi!
"Marcomix":
il punto 4. invece potrebbe essere cosi?
$q(x)=(Ax^2+Bx+C)e^x$
e di questo trovo la derivata prima seconda e terza!?
Per favore rispondetemi!
Cos' hai fatto ? nel punto 4 dovresti solo mettere insieme tutte le soluzioni, non trovarne di nuove.
scs, intendevo il punto 3!
ti ripeto che essendo $a = 1$, non devi aumentre il grado del polinomio che è moltiplicato per l' esponenziale, quindi basta $p(x) = ax + b$.
@ Marcomix: Potevi anche abbassare l'ordine dell'equazione sostituendo [tex]$z=y^\prime$[/tex]: in tal modo l'equazione si sarebbe trasformata in [tex]$z^{\prime \prime} +z=x+xe^x$[/tex], che è un po' più semplice.
Ovviamente, però, una volta determinato l'integrale generale [tex]$z(x;c_1,c_2)$[/tex] della nuova EDO, l'avresti dovuto integrare per ottenere l'integrale generale [tex]$y(x;c_1,c_2,c_3)$[/tex] del problema originario.
Ovviamente, però, una volta determinato l'integrale generale [tex]$z(x;c_1,c_2)$[/tex] della nuova EDO, l'avresti dovuto integrare per ottenere l'integrale generale [tex]$y(x;c_1,c_2,c_3)$[/tex] del problema originario.
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