Equazione differenziale di terzo ordine
Ciao,vi posto un esercizio su un'equazione differenziale di terzo grado su cui ho parecchi dubbi:
Data l'equazione differenziale $ yprime prime prime +y''+lambda ^2y'+lambda ^2y=0 $ trovare l'integrale generale e risolvere il seguente problema di Cauchy: $ { ( y(0)=0 ),( y'(0)=0 ),( y''(0)=-1 ):} $
Ho provato a risolverlo cosi:
l'equazione differenziale è omogenea a coefficienti costanti quindi trovo l'eq.caratteristica:
$ r^3+r^2+lambda ^2r+lambda ^2=0 $
da cui scomponendo ho $ (r+1)(r^2+lambda ^2) $
trovo le radici: $ { ( r_1=-1 ),( r_2=+ilambda ),( r_3=-ilambda ):} $
per cui,dato che le soluzioni saranno del tipo $ e^(rx) $ ,si ha: $ { ( y_1=e^-x ),( y_2=e^(ilambdax) ),( y_3=e^(-ilambda x) ):} $
Quindi l'integrale generale eq.differenziale è : $ y=c_1e^-x+c_2e^(ilambda x)+c_3e^(-ilambda x) $
Per risolvere il problema di Cauchy trovo derivata prima e seconda dell'integrale generale e ottengo il sistema:
$ { ( y=c_1e^-x+c_2e^(ilambdax)+c_3e^(-ilambdax) ),(y'=-c_1e^-x+ilambda c_2e^(ilambda x)-ilambda c_3e^(-ilambda x) ),( y''=c_1e^-x+i^2lambda ^2c_2e^(ilambda x)+i^2lambda ^2c_3e^(-ilambda x) ):} $
da cui imponendo le condizioni iniziali:
$ { ( c_1e^0+c_2e^0+c_3e^0=0 ),( -c_1e^0+ilambdac_2e^0-ilambda c_3e^0=0 ),( c_1e^0+i^2lambda ^2c_2e^0+i^2lambda ^2c^3e^0=-1 ):} $
Ora risolvendo il sistema dovrei trovare i valori di c per cui il problema di Cauchy ha un'unica soluzione,vorrei sapere se è corretto il procedimento fin qui
Data l'equazione differenziale $ yprime prime prime +y''+lambda ^2y'+lambda ^2y=0 $ trovare l'integrale generale e risolvere il seguente problema di Cauchy: $ { ( y(0)=0 ),( y'(0)=0 ),( y''(0)=-1 ):} $
Ho provato a risolverlo cosi:
l'equazione differenziale è omogenea a coefficienti costanti quindi trovo l'eq.caratteristica:
$ r^3+r^2+lambda ^2r+lambda ^2=0 $
da cui scomponendo ho $ (r+1)(r^2+lambda ^2) $
trovo le radici: $ { ( r_1=-1 ),( r_2=+ilambda ),( r_3=-ilambda ):} $
per cui,dato che le soluzioni saranno del tipo $ e^(rx) $ ,si ha: $ { ( y_1=e^-x ),( y_2=e^(ilambdax) ),( y_3=e^(-ilambda x) ):} $
Quindi l'integrale generale eq.differenziale è : $ y=c_1e^-x+c_2e^(ilambda x)+c_3e^(-ilambda x) $
Per risolvere il problema di Cauchy trovo derivata prima e seconda dell'integrale generale e ottengo il sistema:
$ { ( y=c_1e^-x+c_2e^(ilambdax)+c_3e^(-ilambdax) ),(y'=-c_1e^-x+ilambda c_2e^(ilambda x)-ilambda c_3e^(-ilambda x) ),( y''=c_1e^-x+i^2lambda ^2c_2e^(ilambda x)+i^2lambda ^2c_3e^(-ilambda x) ):} $
da cui imponendo le condizioni iniziali:
$ { ( c_1e^0+c_2e^0+c_3e^0=0 ),( -c_1e^0+ilambdac_2e^0-ilambda c_3e^0=0 ),( c_1e^0+i^2lambda ^2c_2e^0+i^2lambda ^2c^3e^0=-1 ):} $
Ora risolvendo il sistema dovrei trovare i valori di c per cui il problema di Cauchy ha un'unica soluzione,vorrei sapere se è corretto il procedimento fin qui
Risposte
Le radici complesse coniugate generano una soluzione del tipo $A cos(lambda x) +B sen (lambda x) $
Un appunto: del terzo ordine, non di terzo grado 
Certo di terzo ordine 
...Quindi Camillo da $ r_2 $ ed $ r_3 $ ottengo $ y_2=e^0(c_2cos(lambda x)+c_3sen(lambda x)) $ , e di conseguenza l'integrale generale dell'equazione è: $ y=c_1e^-x+(c_2cos(lambda x)+c_3sen(lambda x)) $ giusto?
...Quindi Camillo da $ r_2 $ ed $ r_3 $ ottengo $ y_2=e^0(c_2cos(lambda x)+c_3sen(lambda x)) $ , e di conseguenza l'integrale generale dell'equazione è: $ y=c_1e^-x+(c_2cos(lambda x)+c_3sen(lambda x)) $ giusto?
Sì .
Grazie:)
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