Equazione differenziale di secondo ordine non omogenea
ciao a tutti ragazzi,
sono un nuovo utente del forum. Allora mi sto preparando ad un esame di analisi matematica 2 ma non riesco a risolvere un equazione differenziale di secondo ordine non omogenea. Ve la propongo qui sotto:
$ y'' +y = x*e^x*\sinx $
Ho trattato prima l'omogenea associata:
$ y'' + y = 0 $
e mi è venuto questo integrale:
$ y(x)= c_1\cosx+c_2\sinx $
Per l'integrale particolare ho pensato di trattare una funzione del tipo :
$ v_0(x)=e^x * [a*\cosx + (bx+c)*\sinx] $
e mi è venuto questo risultato:
$ v_0(x)=(e^x*[-\cosx + (2x-3)*\sinx])/4 $
invece deve venire:
$ v_0(x)=(e^x*[(14-10x)\cosx + (5x -2)*\sinx])/25 $
dove ho sbagliato ?
sono un nuovo utente del forum. Allora mi sto preparando ad un esame di analisi matematica 2 ma non riesco a risolvere un equazione differenziale di secondo ordine non omogenea. Ve la propongo qui sotto:
$ y'' +y = x*e^x*\sinx $
Ho trattato prima l'omogenea associata:
$ y'' + y = 0 $
e mi è venuto questo integrale:
$ y(x)= c_1\cosx+c_2\sinx $
Per l'integrale particolare ho pensato di trattare una funzione del tipo :
$ v_0(x)=e^x * [a*\cosx + (bx+c)*\sinx] $
e mi è venuto questo risultato:
$ v_0(x)=(e^x*[-\cosx + (2x-3)*\sinx])/4 $
invece deve venire:
$ v_0(x)=(e^x*[(14-10x)\cosx + (5x -2)*\sinx])/25 $
dove ho sbagliato ?
Risposte
Non capisco perchè dovrebbe essere quello il tipo di soluzione particolare, scusa per quale motivo il polinomio di primo grado dovrebbe moltiplicare solo la funzione seno?
Concordo con Giuly: la soluzione particolare dovrebbe essere della forma
[tex]y_p(x)=e^x\left[ax+b)\cos x+(cx+d)\sin x\right]$[/tex]
[tex]y_p(x)=e^x\left[ax+b)\cos x+(cx+d)\sin x\right]$[/tex]
in effetti dopo che ho fatto vari calcoli mi sono accorto che non era possibile. ma non mi viene nemmeno usando come funzione questa qua:
$ v_0(x)=e^x*[(ax+b)*\cosx+(cx+d)*\sinx] $
Io penso di confondermi quando calcolo le derivate di questa funzione perchè la funzione è troppo estesa in questo caso.
$ v_0(x)=e^x*[(ax+b)*\cosx+(cx+d)*\sinx] $
Io penso di confondermi quando calcolo le derivate di questa funzione perchè la funzione è troppo estesa in questo caso.
ragazzi alla fine siamo arrivati alla stessa conclusione ma il problema sta nel fatto che io non riesco a capire perchè non mi riesce.
io posso fare una cosa. faccio l'esercizio con questa nuova funzione e ve lo posto se per voi va bene.
io posso fare una cosa. faccio l'esercizio con questa nuova funzione e ve lo posto se per voi va bene.
Se hai voglia di stare a riscrivere tutto in codice fai pure, una mano te la diamo. Però per controllare le derivate puoi anche usare www.wolframalpha,com, lui non le sbaglia di sicuro! 
Allora userò quello. Ci stavo pensando perchè secondo me è proprio una derivata sbagliata che non va. Comunque ho Mathematica installato nel pc, quindi non ho problemi con il codice. Prendo tutto il codice e lo converto in LaTeX che è quello che usate voi.
Allora fai pure, prima di mezzanotte io un'occhiata gliela do se non riesci a trovare l'errore!
allora ho sviluppato la funzione:
$ v_0(x)=e^x*[(ax+b)*\cosx+(cx+d)*\sinx] $
ho fatto la derivata prima. vi scrivo tutti i passaggi:
$ v'_0(x)=e^x*[(ax+b)*\cosx+(cx+d)*\sinx]+ e^x [a*\cosx -(ax+b)*\sinx +c*\sinx +(cx+d)*\cosx]= e^x*[(ax+cx+a+b+d)*\cosx+(cx-ax+d+c-b)*\sinx] $
Ho verificato con il wolfram subito dopo che l'ho calcolata ed è corretta.
Per la derivata seconda invece mi è venuta questa:
$ v''_0(x)=e^x*[(ax+cx+a+b+d)*\cosx+(cx-ax+d+c-b)*\sinx] + e^x*[(a+c)*\cosx - (ax+a+b+cx+d)*\sinx + (-a+c)*\sinx + (-ax-b+cx+d)*\cosx]=2*e^x*[(a+c+cx+d)*\cosx - (ax +a -c)* \sinx] $
In questa con il wolfram alpha ho trovato almeno tre errori di distrazione. Il problema è dopo quando ho dovuto fare la sostituzione per trovare i coefficienti dell'integrale particolare:
$ 2*e^x*[(a+c+cx+d)*\cosx - (ax +a -c) \senx] + e^x*[(ax+b)*\cosx+(cx+d)*\sinx]= x * e^x * \sinx $
sono arrivato ad un sistema di quattro equazioni di questo tipo:
[tex]\begin{cases}
a+2c=0 \\
2a+b+2d=0 \\
-2a+c=1 \\
-2a+2c+d=0
\end{cases}
\begin{cases}
a=-2c \\
-4c+b+2d=0 \\
4c+c=1 \\
4c+2c+d=0
\end{cases}
\begin{cases}
a=-2/5 \\
c=1/5
\end{cases}
\begin{cases}
-4/5+b+2d=0 \\
4/5+2/5+d=0
\end{cases}
\text{\\}
\begin{cases}
-4/5+b+12/5=0 \\
d=6/5
\end{cases}
v_0(x)=\overbrace{5}^{\left.e^x*[(-2x+8)\text{cosx}+(x-6)\text{senx}\right)}[/tex]
Nonostante ho sviluppato tutta la funzione non mi viene il risultato del libro, come mai?
soluzione:
$v_0(x)=(e^x*[(14-10x)*\cosx+(5x-2)*\sinx])/25 $
$ v_0(x)=e^x*[(ax+b)*\cosx+(cx+d)*\sinx] $
ho fatto la derivata prima. vi scrivo tutti i passaggi:
$ v'_0(x)=e^x*[(ax+b)*\cosx+(cx+d)*\sinx]+ e^x [a*\cosx -(ax+b)*\sinx +c*\sinx +(cx+d)*\cosx]= e^x*[(ax+cx+a+b+d)*\cosx+(cx-ax+d+c-b)*\sinx] $
Ho verificato con il wolfram subito dopo che l'ho calcolata ed è corretta.
Per la derivata seconda invece mi è venuta questa:
$ v''_0(x)=e^x*[(ax+cx+a+b+d)*\cosx+(cx-ax+d+c-b)*\sinx] + e^x*[(a+c)*\cosx - (ax+a+b+cx+d)*\sinx + (-a+c)*\sinx + (-ax-b+cx+d)*\cosx]=2*e^x*[(a+c+cx+d)*\cosx - (ax +a -c)* \sinx] $
In questa con il wolfram alpha ho trovato almeno tre errori di distrazione. Il problema è dopo quando ho dovuto fare la sostituzione per trovare i coefficienti dell'integrale particolare:
$ 2*e^x*[(a+c+cx+d)*\cosx - (ax +a -c) \senx] + e^x*[(ax+b)*\cosx+(cx+d)*\sinx]= x * e^x * \sinx $
sono arrivato ad un sistema di quattro equazioni di questo tipo:
[tex]\begin{cases}
a+2c=0 \\
2a+b+2d=0 \\
-2a+c=1 \\
-2a+2c+d=0
\end{cases}
\begin{cases}
a=-2c \\
-4c+b+2d=0 \\
4c+c=1 \\
4c+2c+d=0
\end{cases}
\begin{cases}
a=-2/5 \\
c=1/5
\end{cases}
\begin{cases}
-4/5+b+2d=0 \\
4/5+2/5+d=0
\end{cases}
\text{\\}
\begin{cases}
-4/5+b+12/5=0 \\
d=6/5
\end{cases}
v_0(x)=\overbrace{5}^{\left.e^x*[(-2x+8)\text{cosx}+(x-6)\text{senx}\right)}[/tex]
Nonostante ho sviluppato tutta la funzione non mi viene il risultato del libro, come mai?
soluzione:
$v_0(x)=(e^x*[(14-10x)*\cosx+(5x-2)*\sinx])/25 $
Il sistema corretto deve essere il seguente:
[tex]$\left\{\begin{array}{l}
a+2c=0\\ 2a+b+2c+2d=0\\ -2a+c=1\\ -2a-2b+2c+d=0
\end{array}\right.$[/tex]
Ricontrolla un po' le derivate.
[tex]$\left\{\begin{array}{l}
a+2c=0\\ 2a+b+2c+2d=0\\ -2a+c=1\\ -2a-2b+2c+d=0
\end{array}\right.$[/tex]
Ricontrolla un po' le derivate.
allora ho provato a risolvere con il sistema corretto di ciampax. mi è venuta questo integrale:
$ v_0(x)=e^x*[(-2/5x+14/25)*\cosx+(x/5-2/25)*\sinx] $
che facendo il m.c.m. corrisponde alla soluzione
$ v_0(x)=e^x*[(-2/5x+14/25)*\cosx+(x/5-2/25)*\sinx] $
che facendo il m.c.m. corrisponde alla soluzione
ho risolto l'esercizio. Domani ho l'esame di Analisi 2. Speriamo vada bene.
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