Equazione differenziale di secondo ordine non omogenea
raga ho per le mani un tipo di equazione differenziale non omogenea che mi dà problemi...
in pratica la soluzione della omogenea associata l'ho calcolata perchè è semplice...mentre quella particolare ho difficoltà a calcolarla....
l'equazione è questa $ y''-y=2xsin(x) $ probabilmente non identifico bene la tipologia di integrale particolare da utilizzare per poi calcolare la soluzione
per favore c'è qualcuno di voi di buona volontà che mi fà vedè lo svolgimento per calcolare la soluzione particolare? così magari capisco come procedere anche in altri esercizi simili!
PS. premetto che ho studiato la teoria più volte e sò che sarebbe meglio sbatterci la testa da solo ma ho l'esame fra pochi giorni e devo fare anche altro...insomma devo andare di corsa...quindi chiedo il vostro aiuto
in pratica la soluzione della omogenea associata l'ho calcolata perchè è semplice...mentre quella particolare ho difficoltà a calcolarla....
l'equazione è questa $ y''-y=2xsin(x) $ probabilmente non identifico bene la tipologia di integrale particolare da utilizzare per poi calcolare la soluzione
per favore c'è qualcuno di voi di buona volontà che mi fà vedè lo svolgimento per calcolare la soluzione particolare? così magari capisco come procedere anche in altri esercizi simili!PS. premetto che ho studiato la teoria più volte e sò che sarebbe meglio sbatterci la testa da solo ma ho l'esame fra pochi giorni e devo fare anche altro...insomma devo andare di corsa...quindi chiedo il vostro aiuto
Risposte
questa è del tipo $y(x)''-y(x)=f(x)$, viene fuori bene la soluzione se usi il metodo delle variazioni delle costanti.
http://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_del ... e_costanti
http://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_del ... e_costanti
Il termine noto [tex]$f(x):=2x\sin x$[/tex] è nella forma [tex]$e^{\alpha x}\left[ p(x)\cos \beta x +q(x)\sin \beta x\right]$[/tex] con [tex]$p,q$[/tex] polinomi, quindi individua il numero complesso [tex]$\alpha +\imath \beta = \imath$[/tex] (infatti [tex]$\alpha =0,\beta =1$[/tex]); tale numero non è una radice del polinomio caratteristico (che è [tex]$\lambda^2-1$[/tex]), pertanto la soluzione particolare dell'equazione completa è da ricercarsi nella forma:
[tex]$\bar{y} (x)=e^{\alpha x} \left[ P(x)\cos \beta x+Q(x)\sin \beta x\right]$[/tex]
in cui [tex]$\alpha, \beta$[/tex] sono quelli del termine noto e [tex]$P,Q$[/tex] sono polinomi di grado uguale al massimo dei gradi di [tex]$p$[/tex] e [tex]$q$[/tex]; nel tuo caso, quindi, hai da determinare le costanti [tex]$a,b,c,d$[/tex] che rendono la funzione:
[tex]$\bar{y} (x)=(ax+b)\cos x+(cx+d)\sin x$[/tex]
soluzione della tua equazione e ciò si fa in un lampo, sostituendo [tex]$\bar{y}$[/tex] e [tex]$\bar{y}^{\prime \prime}$[/tex] nella EDO e tenendo presente le proprietà delle funzioni coinvolte.
[tex]$\bar{y} (x)=e^{\alpha x} \left[ P(x)\cos \beta x+Q(x)\sin \beta x\right]$[/tex]
in cui [tex]$\alpha, \beta$[/tex] sono quelli del termine noto e [tex]$P,Q$[/tex] sono polinomi di grado uguale al massimo dei gradi di [tex]$p$[/tex] e [tex]$q$[/tex]; nel tuo caso, quindi, hai da determinare le costanti [tex]$a,b,c,d$[/tex] che rendono la funzione:
[tex]$\bar{y} (x)=(ax+b)\cos x+(cx+d)\sin x$[/tex]
soluzione della tua equazione e ciò si fa in un lampo, sostituendo [tex]$\bar{y}$[/tex] e [tex]$\bar{y}^{\prime \prime}$[/tex] nella EDO e tenendo presente le proprietà delle funzioni coinvolte.
grazie mille gugo 
l'unica cosa che però non capisco è perchè il numero complesso $ \alpha+i\beta $ non sia una radice del polinomio mmm non dovrebbe essere uguale a $ 1 $ mmm e $ 1 $ non dovrebbe essere radice? mmm scusami per l'eventuale ignoranza 
l'unica cosa che però non capisco è perchè il numero complesso $ \alpha+i\beta $ non sia una radice del polinomio mmm non dovrebbe essere uguale a $ 1 $ mmm e $ 1 $ non dovrebbe essere radice? mmm scusami per l'eventuale ignoranza
Visto che [tex]$\alpha =0,\beta =1$[/tex] (infatti nel tuo termine noto hai [tex]$e^{\alpha x}=1$[/tex] e [tex]$\sin \beta x=\sin x$[/tex]), allora [tex]$\alpha +\imath \beta =0+\imath 1=\imath$[/tex].
Le soluzioni dell'equazione caratteristica [tex]$\lambda^2-1=0$[/tex] (associata alla EDO che hai postato, sempre supponendo non ci siano errori) sono evidentemente [tex]$\pm 1$[/tex] e mi pare che [tex]$\imath \neq \pm 1$[/tex], no?
Le soluzioni dell'equazione caratteristica [tex]$\lambda^2-1=0$[/tex] (associata alla EDO che hai postato, sempre supponendo non ci siano errori) sono evidentemente [tex]$\pm 1$[/tex] e mi pare che [tex]$\imath \neq \pm 1$[/tex], no?
Le radici del polinomio caratteristico $lambda^2-1 $ sono $+-1 $, numeri reali mentre $alpha+i beta = i $ e sono diversi tra loro.
$Delta t= 2^m 9^s $ 
A questo punto lancio un esercizietto per chiarire un punto della teoria che giustifica i passaggi da compiere per trovare l'integrale particolare della EDO.
***
Esercizio:
Siano [tex]$P,Q$[/tex] polinomi a coefficienti reali non nulli e [tex]$\beta \in \mathbb{R}$[/tex].
Dimostrare che le funzioni [tex]$\varphi (x):=P(x)\cos \beta x$[/tex] e [tex]$\psi (x):=Q(x)\sin \beta x$[/tex] sono linearmente indipendenti in [tex]$C(\mathbb{R})$[/tex].
@Camillo:
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Esercizio:
Siano [tex]$P,Q$[/tex] polinomi a coefficienti reali non nulli e [tex]$\beta \in \mathbb{R}$[/tex].
Dimostrare che le funzioni [tex]$\varphi (x):=P(x)\cos \beta x$[/tex] e [tex]$\psi (x):=Q(x)\sin \beta x$[/tex] sono linearmente indipendenti in [tex]$C(\mathbb{R})$[/tex].
@Camillo:
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