Equazione differenziale di secondo ordine non omogenea
$y''+y=2xcosx$
Mi è specificato di risolverla col Metodo di Somiglianza. Ora quel che faccio è cercare una soluzione della forma :
$y(x)=cosx(Ax+B)+Csinx$
Il problema è che dopo aver sostituito le derivate nell'equazione completa ottengo un sistema della forma :
$ { ( 0=0 ),( A=-x ):} $
E quindi mi chiedo : è corretto fin qui? come si procede?
Mi è specificato di risolverla col Metodo di Somiglianza. Ora quel che faccio è cercare una soluzione della forma :
$y(x)=cosx(Ax+B)+Csinx$
Il problema è che dopo aver sostituito le derivate nell'equazione completa ottengo un sistema della forma :
$ { ( 0=0 ),( A=-x ):} $
E quindi mi chiedo : è corretto fin qui? come si procede?
Risposte
Ciao pepp1995,
L'equazione caratteristica dell'equazione differenziale omogenea associata è la seguente:
$\lambda^2 + 1 = 0 \implies \lambda_{1,2} = \pm i $
Quindi la soluzione dell'equazione differenziale omogenea associata si può scrivere nella forma seguente:
$y_o(x) = c_1 sin x + c_2 cos x $
La soluzione particolare è del tipo:
$y_p(x) = x[P_p(x) cos x + Q_p(x) sin x] $
ove $ deg[P_p(x)] = deg[Q_p(x)] = deg[2x] = 1 \implies P_p(x) = ax + b, Q_p(x) = cx + d $ con $a$, $b$, $c$ e $d$ opportune costanti da determinare.
L'equazione caratteristica dell'equazione differenziale omogenea associata è la seguente:
$\lambda^2 + 1 = 0 \implies \lambda_{1,2} = \pm i $
Quindi la soluzione dell'equazione differenziale omogenea associata si può scrivere nella forma seguente:
$y_o(x) = c_1 sin x + c_2 cos x $
La soluzione particolare è del tipo:
$y_p(x) = x[P_p(x) cos x + Q_p(x) sin x] $
ove $ deg[P_p(x)] = deg[Q_p(x)] = deg[2x] = 1 \implies P_p(x) = ax + b, Q_p(x) = cx + d $ con $a$, $b$, $c$ e $d$ opportune costanti da determinare.
Risolto . Grazie mille. Avevo sbagliato l'equazione caratteristica =)
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