Equazione differenziale di secondo ordine
Salve a tutti, mi ripropongo con due quesiti 
Ho come equazione differenziale di secondo grado:
$y''(x)+y'(x)= x + x^3$
(primo quesito) trovare le soluzioni dell'equazione differenziale.
I miei passaggi sono questi:
1. $y''(x)+y'(x)=0$
Tale equazione, ha come equazione caratteristica: $k^2+1=0$
Individuo il suo discriminante: $\Delta<0$ con $\alpha=0$ e $\beta=1
L'integrale generale è: $c_1*cosx+c_2*senx
2. $y''(x)+y'(x)=x$
In questo caso per la risoluzione bisogna adottare una equazione generica di secondo grado: $q(x)=ax^2+bx+c$
Trovo $q'(x)=2ax+b$ e $q''(x)=2a$; questi vengono sostituiti (seguendo l'ordine) in $y'(x)$ e $y''(x)$, per individuare $a$ e $b$
Trovo $a=1/2$ e $b=-1$ e li sostituisco in $q(x)=1/2x^2 -x+c$
3.$y''(x)+y'(x)=x^3$
(ehm) come si fa?
so solo che considerando $k^2+1=x^3$, se $a!=0 b!=0 c=0$$->$$m$(che è il grado dell'equazione $q(x)$)$=n$(grado della $x$)$+1$, quindi $q(x)$ è di quarto grado!
Se è corretto il procedimento, la mia carenza sta nell'individuare l'equazione di quarto grado e la sua soluzione.
(secondo quesito) trovare tutte le soluzioni dispari!
In questo caso non capisco cosa significa 'soluzioni dispari', devo verificare quale delle soluzioni è $-f(x)=f(-x)$?
Grazie in anticipo, a chi mi risponde
Ho come equazione differenziale di secondo grado:
$y''(x)+y'(x)= x + x^3$
(primo quesito) trovare le soluzioni dell'equazione differenziale.
I miei passaggi sono questi:
1. $y''(x)+y'(x)=0$
Tale equazione, ha come equazione caratteristica: $k^2+1=0$
Individuo il suo discriminante: $\Delta<0$ con $\alpha=0$ e $\beta=1
L'integrale generale è: $c_1*cosx+c_2*senx
2. $y''(x)+y'(x)=x$
In questo caso per la risoluzione bisogna adottare una equazione generica di secondo grado: $q(x)=ax^2+bx+c$
Trovo $q'(x)=2ax+b$ e $q''(x)=2a$; questi vengono sostituiti (seguendo l'ordine) in $y'(x)$ e $y''(x)$, per individuare $a$ e $b$
Trovo $a=1/2$ e $b=-1$ e li sostituisco in $q(x)=1/2x^2 -x+c$
3.$y''(x)+y'(x)=x^3$
(ehm) come si fa?
so solo che considerando $k^2+1=x^3$, se $a!=0 b!=0 c=0$$->$$m$(che è il grado dell'equazione $q(x)$)$=n$(grado della $x$)$+1$, quindi $q(x)$ è di quarto grado!
Se è corretto il procedimento, la mia carenza sta nell'individuare l'equazione di quarto grado e la sua soluzione.
(secondo quesito) trovare tutte le soluzioni dispari!
In questo caso non capisco cosa significa 'soluzioni dispari', devo verificare quale delle soluzioni è $-f(x)=f(-x)$?
Grazie in anticipo, a chi mi risponde
Risposte
Tale equazione, ha come equazione caratteristica: $k^2+1=0$
perchè ?
Quella è l' equazione caratteristica di $y'' + y = 0$
la tua equazione caratteristica è: $k^2 + k = 0$
In qualunque caso, il tuo ternine noto è un semplice polinomio, quindi non serve che "spezzi" lo studio in 2 parti.
quale metodo bisogna adottare per trovare le soluziona particolare?
"aleas":
quale metodo bisogna adottare per trovare le soluziona particolare?
Ce ne sono un paio: metodo della somiglianza, metodo della variazione delle costanti.
Sono piuttosto semplici da applicare, se non trovi niente su internet o sui libri, ti darò qualche dritta.
Intanto guarda questo sul metodo della somiglianza: http://www1.mate.polimi.it/~bramanti/co ... lianza.pdf
Anche qui :
http://web.mate.polimi.it/viste/student ... amento=375
e apri
eqdifflin.pdf Soluzioni particolari
http://web.mate.polimi.it/viste/student ... amento=375
e apri
eqdifflin.pdf Soluzioni particolari
[°-°''' perdonate la svista!]
Apparte il primo punto sbagliato, ma che so risolvere [eheh, non si direbbe tanto], la seconda parte ha questo procedimento?
2. $y''(x)+y'(x)= x + x^3$
Si tratta di equazione di quarto grado, quindi $q(x)=$$\alpha$$x^4 + $$\beta$$x^3 + $$\gamma$$x^2 + $$\delta$$x+ $$\epsilon$
$q(x)'=$$\alpha$$4x^3+$$\beta$$3x^2+$$\gamma$$2x+$$\delta$
$q(x)''=$$\alpha$$12x^2+$$\beta$$6x+$$\gamma$$2$
sostituisco in $y'(x)$ e $y''(x)$ per trovare $\alpha$ $\beta$ $\gamma$ $\delta$ $\epsilon$
$\alpha$$12x^2+$$\beta$$6x+$$\gamma$$2+$$\alpha$$4x^3+$$\beta$$3x^2+$$\gamma$$2x+$$\delta$$=x + x^3$
Qua si fa tutto il calcolo laborioso e trovo la soluzione [tadahh]--> non posto tutto, perchè devo sempre abituarmi a scrivere il linguaggio matematico!
Grazie infinite, ma non è [ehm] finita, c'è il secondo quesito!
Cosa significa trovare le soluzioni dispari?
Apparte il primo punto sbagliato, ma che so risolvere [eheh, non si direbbe tanto], la seconda parte ha questo procedimento?
2. $y''(x)+y'(x)= x + x^3$
Si tratta di equazione di quarto grado, quindi $q(x)=$$\alpha$$x^4 + $$\beta$$x^3 + $$\gamma$$x^2 + $$\delta$$x+ $$\epsilon$
$q(x)'=$$\alpha$$4x^3+$$\beta$$3x^2+$$\gamma$$2x+$$\delta$
$q(x)''=$$\alpha$$12x^2+$$\beta$$6x+$$\gamma$$2$
sostituisco in $y'(x)$ e $y''(x)$ per trovare $\alpha$ $\beta$ $\gamma$ $\delta$ $\epsilon$
$\alpha$$12x^2+$$\beta$$6x+$$\gamma$$2+$$\alpha$$4x^3+$$\beta$$3x^2+$$\gamma$$2x+$$\delta$$=x + x^3$
Qua si fa tutto il calcolo laborioso e trovo la soluzione [tadahh]--> non posto tutto, perchè devo sempre abituarmi a scrivere il linguaggio matematico!
Grazie infinite, ma non è [ehm] finita, c'è il secondo quesito!
Cosa significa trovare le soluzioni dispari?
Prova a scrivere qui la soluione generale, e poi vediamo come trovare i coefficienti adatti per avere: $f(x) = -f(-x)$
amesso che sia giusto, la soluzione è:
$y(x)=c_1+c_2e^x + 1/4x^4-x^3+7/2x^2-7x+c_3$
forse credo che $c_1$ e $c_3$ li possa unire semplicemente in $c$.
Le soluzioni dispari?
$y(x)=c_1+c_2e^x + 1/4x^4-x^3+7/2x^2-7x+c_3$
forse credo che $c_1$ e $c_3$ li possa unire semplicemente in $c$.
Le soluzioni dispari?
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