Equazione differenziale di secondo ordine

[paolods99]

Buonasera, ho quest'equazione differenziale di secondo ordine:
$\{(y''(t)=y(t)^2),(y(0)=1),(y'(0)=sqrt(2/3)):}$
Sul libro ho visto che un metodo generale per risolvere un'equazione di questo tipo è moltiplicare entrambi i membri della mia equazione differenziale per $\y'(t)$ ma poi non capisco come procedere.
Più che altro non capisco che senso ha moltiplicare per $\y'(t)$.

[Mephlip]

Se moltiplichi per $y'(t)$ ambo i membri, al membro di sinistra si forma la derivata di un prodotto; nello specifico $y''(t) y'(t)=\frac{\text{d}}{\text{d}t} (\frac{1}{2} (y'(t))^2)$.

[pilloeffe]

Ciao paolods99,

Una volta fatto quanto ti ha suggerito Mephlip, poi devi integrare:

$ y''(t)=y(t)^2 $

$ y'(t)y''(t) = y^2(t) y'(t) $

$ \frac{\text{d}}{\text{d}t}{\frac{1}{2} [y'(t)]^2} = y^2(t) y'(t) $

$\int_0^t \frac{\text{d}}{\text{d}\tau}{\frac{1}{2} [y'(\tau)]^2} \text{d}\tau = \int_0^t y^2(\tau) y'(\tau) \text{d}\tau $

$ \frac{1}{2} [y'(t)]^2 - 1/2 [y'(0)]^2 = (y^3(t))/3 - (y^3(0))/3 $

$ \frac{1}{2} [y'(t)]^2 - 1/2 \cdot 2/3 = (y^3(t))/3 - 1/3 $

$ \frac{1}{2} [y'(t)]^2 = (y^3(t))/3 $

$ [y'(t)]^2 = 2/3 y^3(t) $

A questo punto prova a continuare autonomamente...