Equazione differenziale di secondo ordine
Trovare l’integrale generale $g(x,c1,c2)$ dell’equazione
$y′′+(y′)/(x)−(16y)/( x^2)= 16x^2$
non saprei proprio con quale metodo procedere..potreste consigliarmi come avviare lo studio di questa equazione? Magari è un tipo di equazione differenziale del secondo ordine che io non ho studiato,ma non trovo nulla!
$y′′+(y′)/(x)−(16y)/( x^2)= 16x^2$
non saprei proprio con quale metodo procedere..potreste consigliarmi come avviare lo studio di questa equazione? Magari è un tipo di equazione differenziale del secondo ordine che io non ho studiato,ma non trovo nulla!
Risposte
Ciao angelad97,
Ne sono comparse di simili sul forum anche di recente... Considera l'equazione differenziale omogenea associata:
$y′′+ frac{y'}{x} − frac{16y}{x^2} = 0$
Moltiplicando tutto per $x^2 > 0$, si ha:
$x^2 y'' + x y' - 16y = 0$
Ora, ipotizzando una soluzione del tipo $y = x^{\lambda}$, si ottiene:
$\lambda(\lambda - 1)x^{\lambda} + \lambda x^{\lambda} - 16 x^{\lambda} = 0$
Dividendo tutto per $x^{\lambda}$ si ottiene l'equazione caratteristica seguente:
$\lambda(\lambda - 1) + \lambda - 16 = 0$
cioè
$\lambda^2 - 16 = 0 \implies \lambda_{1} = 4 ^^ \lambda_{2} = - 4 $.
Da qui in poi dovresti essere in grado di concludere autonomamente...
Ne sono comparse di simili sul forum anche di recente... Considera l'equazione differenziale omogenea associata:
$y′′+ frac{y'}{x} − frac{16y}{x^2} = 0$
Moltiplicando tutto per $x^2 > 0$, si ha:
$x^2 y'' + x y' - 16y = 0$
Ora, ipotizzando una soluzione del tipo $y = x^{\lambda}$, si ottiene:
$\lambda(\lambda - 1)x^{\lambda} + \lambda x^{\lambda} - 16 x^{\lambda} = 0$
Dividendo tutto per $x^{\lambda}$ si ottiene l'equazione caratteristica seguente:
$\lambda(\lambda - 1) + \lambda - 16 = 0$
cioè
$\lambda^2 - 16 = 0 \implies \lambda_{1} = 4 ^^ \lambda_{2} = - 4 $.
Da qui in poi dovresti essere in grado di concludere autonomamente...
Grazie,solo non capisco questo passaggio
Ora, ipotizzando una soluzione del tipo $y=x^λ$, si ottiene:
$λ(λ−1)x^λ+λx^λ−16x^λ=0$
Ora, ipotizzando una soluzione del tipo $y=x^λ$, si ottiene:
$λ(λ−1)x^λ+λx^λ−16x^λ=0$
Beh, è semplice:
$y = x^\lambda \implies y' = \lambda x^{\lambda - 1} \implies y'' = \lambda(\lambda - 1) x^{\lambda - 2}$: sostituendo $y$, $y'$ e $y''$ nell'equazione $x^2 y'' + x y' - 16y = 0$
si ottiene proprio
$\lambda(\lambda - 1)x^{\lambda} + \lambda x^{\lambda} - 16 x^{\lambda} = 0$
$y = x^\lambda \implies y' = \lambda x^{\lambda - 1} \implies y'' = \lambda(\lambda - 1) x^{\lambda - 2}$: sostituendo $y$, $y'$ e $y''$ nell'equazione $x^2 y'' + x y' - 16y = 0$
si ottiene proprio
$\lambda(\lambda - 1)x^{\lambda} + \lambda x^{\lambda} - 16 x^{\lambda} = 0$
La soluzione completa è questa:
$y=2x^4ln(x)+C_o/{x^4}+C_1x^4$
$y=2x^4ln(x)+C_o/{x^4}+C_1x^4$
Confermo la correttezza della soluzione scritta da sandroroma. Infatti si ha:
$y_o(x, c_1, c_2) = c_1 x^{- 4} + c_2 x^4 = frac{c_1}{x^4} + c_2 x^4$
e
$y_p(x) = 2x^4 \ln x$
Quindi in definitiva la soluzione dell'equazione differenziale proposta è la seguente:
$g(x, c_1, c_2) = y_p(x) + y_o(x, c_1, c_2) = 2x^4 \ln x + frac{c_1}{x^4} + c_2 x^4$
$y_o(x, c_1, c_2) = c_1 x^{- 4} + c_2 x^4 = frac{c_1}{x^4} + c_2 x^4$
e
$y_p(x) = 2x^4 \ln x$
Quindi in definitiva la soluzione dell'equazione differenziale proposta è la seguente:
$g(x, c_1, c_2) = y_p(x) + y_o(x, c_1, c_2) = 2x^4 \ln x + frac{c_1}{x^4} + c_2 x^4$
Un'ultima domanda..come avete fatto a trovare $y_p$?
Col metodo della variazione delle costanti arbitrarie o metodo del Wronskiano.
e se volessi trovarla con il metodo di somiglianza per la soluzione particolare?come dovrei fare?
"angelad97":
e se volessi trovarla con il metodo di somiglianza per la soluzione particolare?come dovrei fare?
Non puoi, perché l'equazione non è a coefficienti costanti.
Ho capito,grazie mille!
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