Equazione differenziale di secondo ordine

[nic1988]

Salve a tutti. Svolgendo questo esercizio mi sono sono reso conto di aver sbagliato e non riesco a rendermi conto perchè.
$y''+y'=5x+2e^x$
La divido in due equazioni differenziali diverse e poi sommo le soluzioni particolari
$y''+y'=2e^x$ e $y''+y'=5x$
Dal polinomio caratteristico otteniamo la soluzione $y_0=c_1+c_2e^(-x)$
La prima equazione ha $f(x)=2e^x$ che non è soluzione del polinomio caratteristico quindi possiamo scrivere la soluzione particolare come $y_p(x)=Ae^x$ , $y'_p(x)=Ae^x$ , $y''_p(x)=Ae^x$
Andando a sostituire nella nostra equazione otteniamo $2Ae^x=2e^x$ da cui $A=1$ e quindi $y_p=e^x$

Il problema lo trovo nella risoluzione particolare della seconda equazione equazione differenziale
$f(x)=5x$ che per ragionamento analogo nel passaggio precedente dovrei trovare come soluzione particolare $(Ax+B)$ ma osservando l'esercizio noto che la soluzione particolare è del tipo $x(Ax+B)$ quindi la molteplicità $m=1$.
Facendo il ragionamento di prima $5x$ non è soluzione del polinomio caratteristico (e di conseguenza non dovrebbe esserci $x^m$ nella soluzione particolare)
Dove sbaglio? Grazie in anticipo

[feddy]

ciao, la soluzione particolare è del tipo che dici tu.

Consiederiamo $y''+y'=5x$

La soluzione particolare è del tipo $y_p(x)=x(Ax+B)$, con $A,B$ coefficienti da determinare.

Derivando $y_p$:
$y_p'(x)=2Ax+B$
$y_p''(x)=2A$

Pertanto abbiamo $2Ax+B+2A=5x$.

Per il principio di identità dei polinomi si deve avere $A=5/2$ e $B=-5$. Si verifica che $y_p(x)=5/2x^2-5x$ è soluzione