Equazione differenziale di secondo ordine

[Fra Frusciante]

Buongiorno, qualcuno potrebbe aiutarmi a scrivere la soluzione generale della seguente equazione?
$ddot x$ - $2 dot x/t $ + $2x/(t^2) = 0 $

ho pensato di risolverla scrivendo l'equazione omogenea associata, ma non essendo t costante non so come procedere..
Grazie per la disponibilità!

[Antimius]

Questa è un'equazione del tipo Eulero. Se non erro, si risolvono con la sostituzione $t=e^s$.

[Berationalgetreal]

O con quella o con \( x = t^k \), supponendo che \(t > 0\):

\[ x = t^k \implies \dot x = k t^{k-1}, \ \ddot x = k(k-1) t^{k-2} \]

Quindi, sostituendo:

\[ k(k-1) t^2 t^{k-2} - 2 kt t^{k-1} + 2t^k = 0 \implies (k-2)(k-1) = 0 \implies x = c_1 t^2 + c_2 t, \quad \ c_1,c_2 \in \mathbb{R} \]

[Fra Frusciante]

grazie mille