Equazione differenziale di secondo grado
Ciao a tutti, ho questa equazione di secondo grado differenziale non omogenea:
$ y'' + 2y' + 7y = -6e^(-x) * sen(2sqrt(3)x) $
La soluzione dell'equazione associata l'ho trovata senza problemi, mentre ho delle difficoltà con la soluzione caratteristica.
Sul mio libro ho che se $ p(x) $, cioè il polinomio al secondo membro, è del tipo $ Ae^(ax) $ devo applicare delle regole, mentre se è di tipo $ C * sen(Bx) + D * cos(Bx) $ devo applicarne delle altre.
In questo caso io non so come considerare il polinomio, in quanto mi sembra di avere entrambe le casistiche insieme.
La soluzione caratteristica trovata dal professore è questa: $ y = e^(-x) * (A * cos(2sqrt(3)x) + B * sen(2sqrt(3)x)) $
Come ci è arrivato? Qualcuno mi può illustrare i passaggi? Grazie
$ y'' + 2y' + 7y = -6e^(-x) * sen(2sqrt(3)x) $
La soluzione dell'equazione associata l'ho trovata senza problemi, mentre ho delle difficoltà con la soluzione caratteristica.
Sul mio libro ho che se $ p(x) $, cioè il polinomio al secondo membro, è del tipo $ Ae^(ax) $ devo applicare delle regole, mentre se è di tipo $ C * sen(Bx) + D * cos(Bx) $ devo applicarne delle altre.
In questo caso io non so come considerare il polinomio, in quanto mi sembra di avere entrambe le casistiche insieme.
La soluzione caratteristica trovata dal professore è questa: $ y = e^(-x) * (A * cos(2sqrt(3)x) + B * sen(2sqrt(3)x)) $
Come ci è arrivato? Qualcuno mi può illustrare i passaggi? Grazie
Risposte
Potresti porre $y=e^(-x) z$, e dopo aver sviluppato il primo membro dividere tutto per $e^(-x)$: a questo punto resta da trovare $z$, e al secondo membro c'è solo un seno.
Perchè porre $ y = e^(-x)z $? Non capisco questo passaggio
Tramite la formula per la derivata del prodotto trovi
$7y+2y'+y''=7e^(-x)z+2(-e^(-x)z+e^(-x)z')+(e^(-x)z-2e^(-x)z'+e^(-x)z'')=(6z+z'')e^(-x)$
e semplificando $e^(-x)$ l'equazione diventa $z''+6z=-6sin(2sqrt(3) x)$, che si risolve più facilmente.
Un altro modo è usare i numeri complessi e tenere presente che l'esponenziale e le funzioni trigonometriche sono praticamente la stessa cosa: in particolare, il secondo membro della tua equazione è la parte immaginaria di $-6e^(-x) e^(2i sqrt(3) x)=-6e^((-1+2i sqrt(3))x)$, quindi puoi procedere come faresti con l'esponenziale al secondo membro, con l'unica differenza che alla fine dovrai prendere la parte immaginaria della soluzione.
$7y+2y'+y''=7e^(-x)z+2(-e^(-x)z+e^(-x)z')+(e^(-x)z-2e^(-x)z'+e^(-x)z'')=(6z+z'')e^(-x)$
e semplificando $e^(-x)$ l'equazione diventa $z''+6z=-6sin(2sqrt(3) x)$, che si risolve più facilmente.
Un altro modo è usare i numeri complessi e tenere presente che l'esponenziale e le funzioni trigonometriche sono praticamente la stessa cosa: in particolare, il secondo membro della tua equazione è la parte immaginaria di $-6e^(-x) e^(2i sqrt(3) x)=-6e^((-1+2i sqrt(3))x)$, quindi puoi procedere come faresti con l'esponenziale al secondo membro, con l'unica differenza che alla fine dovrai prendere la parte immaginaria della soluzione.
Credo di aver capito, praticamente mi mancava la formula nel caso in cui al secondo membro ho un'esponenziale che moltiplica un seno ed un coseno. Quindi secondo la formula viene: $ y = e^(-x) (A cos(2 sqrt(3) x) + B cos(2 sqrt(3) x)) $.
Ora però non capisco come procedere per trovare A e B. Devo fare derivata prima e seconda come negli altri casi?
Ma così verrebbe troppo lungo...
Ora però non capisco come procedere per trovare A e B. Devo fare derivata prima e seconda come negli altri casi?
Ma così verrebbe troppo lungo...
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