Equazione differenziale di primo ordine e sviluppo di taylor
Buongiorno, ho questa equazione differenziale del primo ordine con relativo problema di cauchy...
$ y'=1/(1+y^2)$
$ y(0)=0 $
Come si svolge? protrebbe essere a variabili separabili riscrivendola cosi?
$ y'=1(1/(1+y^2)) $ quindi con $ a(x)y=1/(1+y^2) $ e $ b(x)=1 $ ?
e poi bisogna fare anche lo sviluppo di taylor della soluzione $ y(x) $
$ y'=1/(1+y^2)$
$ y(0)=0 $
Come si svolge? protrebbe essere a variabili separabili riscrivendola cosi?
$ y'=1(1/(1+y^2)) $ quindi con $ a(x)y=1/(1+y^2) $ e $ b(x)=1 $ ?
e poi bisogna fare anche lo sviluppo di taylor della soluzione $ y(x) $
Risposte
Sì, è a variabili separabili e si può riscrivere come \((1+y^2)y' = 1\).
ok grazie...quindi avrei $ a(x)=1 $ e $ f(y)=(1+y^2) $ quindi dato che a=1 le soluzioni saranno del tipo $ y(x)=G^(-1)(x+c) $ ?
Beh, dipende da chi è \(G\)...
G sarebbe la primitiva di 1/f quindi in questo caso la G sarebbe arcatanx...giusto?
No.
Posto \(G(y) := \int_0^y (1+s^2)ds = y + y^3/3\) (che è una funzione biiettiva da \(\mathbb{R}\) in \(\mathbb{R}\)), la soluzione del problema di Cauchy è data da \(y(x) = G^{-1}(x)\), \(x\in\mathbb{R}\).
Posto \(G(y) := \int_0^y (1+s^2)ds = y + y^3/3\) (che è una funzione biiettiva da \(\mathbb{R}\) in \(\mathbb{R}\)), la soluzione del problema di Cauchy è data da \(y(x) = G^{-1}(x)\), \(x\in\mathbb{R}\).
Va bene, dato che la funzione è biiettiva sarà anche invertibile, però quanto viene? E poi la soluzione del problema di cauchy con dovrebbe essere $ y(x)=G^-1(x+c) $ essendo autonoma quindi con a=1??
EDIT:scusa abbiamo detto praticamente la stessa cosa riguardo la soluzione del problema..
EDIT:scusa abbiamo detto praticamente la stessa cosa riguardo la soluzione del problema..
Una soluzione esplicita la puoi ottenere solo usando le formule risolutive per le equazioni di terzo grado, altrimenti te le tieni in forma implicita.
Ok, grazie! 
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