Equazione differenziale di primo ordine di Bernoulli con problema di Cauchy a più soluzioni

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Buonasera a tutti.
Come avete già letto dal titolo sto avendo difficoltà con questa tipologia di esercizio che mi sono ritrovato ad affrontare.

Il mio problema riguarda come fare lo studio quando mi ritrovo ad avere più di una soluzione che soddisfa l'equazione differenziale.
Da notare che nel nostro corso le equazioni differenziali vengono accorpate al programma di Analisi matematica 1 quindi non dovremmo avere conoscenze di derivate parziali o meno.

Ad ogni modo volevo proporvi questa equazione differenziale e provare a risolverla insieme.

Dato il seguente problema di Cauchy, trovare tutte le soluzioni precisando, in ognuna di esse, il più ampio intervallo in cui ognuna di esse è soluzione.

\[
\begin{cases}
y' + 2 xy = 2x \sqrt[4]{y} \\
y(0) = 0
\end{cases}
\]

Quindi:

Il primo passaggio che penso sia opportuno fare è, notando si tratti di un equazione differenziale di Bernoulli, di fare la seguente posizione:

\begin{align*}
z(x) & = y^{(1-\frac{1}{4})} \\
z'(x) & = \frac{3}{4} y^{-\frac{1}{4}} y'
\end{align*}

Moltiplico per $ \frac{3}{4} y^{-\frac{1}{4}} $ tutto ed ottengo:

\[
z'(x) + \frac{3}{2} x z(x) = \frac{3}{2}
\]

Adesso, studiando l'omogenea, si ottiene dopo alcuni calcoli:
\[
z(x) = k e^{-\frac{3}{4} x^2} + \overline{z(x)}
\]

dove $k= e^c$ con c costante.

Per calcolare invece $\overline{z(x)}$ faccio il seguente passaggio:
\[
\overline{z(x)} = \gamma (x) + e^{-\frac{3}{4} x^2}
\]

Derivando e sostituendo si ottiene:
\[
\gamma' (x) = \frac{3}{2} e^{-\frac{3}{4} x^2}
\]
Integrando e sostituendo in $\overline{z(x)}$ esplicitando quest'ultima trovo che:
\[
\overline{z(x)} = 1
\]

Al che mi porta al risultato di avere come risultato:
\[
z(x) = k e^{-\frac{3}{4} x^2} + 1
\]

Poiché $ z(x) = y^{\frac{3}{4}} $ devo imporre che sia positiva.

Si osservano i seguenti casi:

- Se $ k > 0$ l'equazione è vera $\forall x \in \mathbb{R}$

- Se $ k = 0$ l'equazione è vera $\forall x \in \mathbb{R}$

- Se $ k < 0$ devo studiarmi i casi.

Adesso sorge però la mia domanda.
Perché dovrei calcolarmi la veridicità o meno dell'equazione al variare di $k$ che rimane un parametro si importante, quando tuttavia io devo trovarmi l'equazione tale che $y(0)=0$?

Infatti con i passaggi già effettuati si è ricavato che:

\[
y(x) = (\sqrt[3]{k e^{-\frac{3}{4} x^2} + 1})^4
\Rightarrow
y(0) = (\sqrt[3]{k e^{-\frac{3}{4} 0^2} + 1})^4 = 0
\Rightarrow
(\sqrt[3]{k + 1})^4 = 0
\Rightarrow
k=-1
\]

Non ho così ricavato la soluzione richiesta?
Per lo meno io cosi mi sarei comportato se mi fosse stato richiesto di risolvere il problema.
A quanto pare però l'esercizio viene risolto soltanto in seguito ad uno studio delle costanti dividendoli in due valori $x_1 e x_2$ i quali risultano essere $ x_1 < 0 < x_2 $.

È evidente che mi manca proprio questo concetto di trovare le più soluzioni all'interno di un problema di Cauchy. Non riesco proprio a capire il perché di tale ragionamento e come dovrei agire nel caso mi ci imbatta di nuovo.

Grazie mille in anticipo per chiunque volesse provare ad aiutarmi.

P.S. ho volontariamente saltato alcuni passaggi per motivi di brevità. Nel caso qualcuno ne veda il bisogno metterò integralmente ogni passaggio.

[seb1]

Prova a inserire \(z=1+ke^{-{}^3/_4\,x^2}\) in \(z'+\frac{3}{2}xz=\frac{3}{2}\).

[AnalisiZero]

Nota che $y=0$ è soluzione dell'equazione differenziale, e del problema di Cauchy.
Inoltre l' equazione è anche a variabili separabili, si può notare scrivendola in forma normale.

$y'=2xroot(4)(y)-2xy=2x(root(4)(y)-y)$.