Equazione differenziale di ordine secondo
Ciao a tutti... Ho un problema che spero riusciremo a risolvere insieme...
Ho la seguente equazione differenziale
$ y''(x) + 4y(x) = -8e^(2x) $
Trovo l'equazione omogenea associata $\lambda ^2 + 4 = 0 $
da cui --> $ \lambda = +- sqrt(4) = +- 2i $
A questo punto dovrei trovare l'equazione dell'integrale particolare che sommato all'equazione omogenea assocaita mi permette di trovare la soluzione finale attraverso il calcolo di y0, y', e y'';
e dopodichè, sostituendo tutti i dati nell'equazione iniziale trovare la soluzione dell'equazione. Giusto?
Purtroppo non riesco a capire bene come riesca a trovare l'equazione integrale particolare e il relativo punto y0.
Potreste darmi una mano???
Grazie anticipatamente!!!
Ho la seguente equazione differenziale
$ y''(x) + 4y(x) = -8e^(2x) $
Trovo l'equazione omogenea associata $\lambda ^2 + 4 = 0 $
da cui --> $ \lambda = +- sqrt(4) = +- 2i $
A questo punto dovrei trovare l'equazione dell'integrale particolare che sommato all'equazione omogenea assocaita mi permette di trovare la soluzione finale attraverso il calcolo di y0, y', e y'';
e dopodichè, sostituendo tutti i dati nell'equazione iniziale trovare la soluzione dell'equazione. Giusto?
Purtroppo non riesco a capire bene come riesca a trovare l'equazione integrale particolare e il relativo punto y0.
Potreste darmi una mano???
Grazie anticipatamente!!!
Risposte
Ho modificato il titolo: era "Differenziale di ordine secondo". Mi pareva fuorviante.
La soluzione generale della omogenea associata è del tipo : $ A cos 2x +B sin 2x $ .
Per trovare una soluzione particolare usa il metodi di verosimiglianza , supponi cioè che sia del tipo $ C e^(2x ) $, assomigliante quindi al termine noto.
Quindi $ y = C e^(2x) ; y' = 2Ce^(2x) ; y'' = 4Ce^(2x) $ , sostituendo nell'equazione ottieni :
$ 4C e^(2x) +4C e^(2x) = -8 e^(2x ) $ da cui si deduce che $C=-1 $ e la soluzione particolare è $ y = -e^(2x ) $ con soluzione generale completa $y = Acos 2x +B sin 2x -e^(2x)$.
Per trovare una soluzione particolare usa il metodi di verosimiglianza , supponi cioè che sia del tipo $ C e^(2x ) $, assomigliante quindi al termine noto.
Quindi $ y = C e^(2x) ; y' = 2Ce^(2x) ; y'' = 4Ce^(2x) $ , sostituendo nell'equazione ottieni :
$ 4C e^(2x) +4C e^(2x) = -8 e^(2x ) $ da cui si deduce che $C=-1 $ e la soluzione particolare è $ y = -e^(2x ) $ con soluzione generale completa $y = Acos 2x +B sin 2x -e^(2x)$.
Esattamente!!!
Però mi sfugge come hai fatto a scoprire che è di tipo $Acos2x + Bsin2x $
ad esempio nella seguente equazione...
$y'' - y(x) = -10sin(3x) $ ??
Io ho trovato uno schemino... che mi indica il termine noto, le condizioni possibili e la forma di integrale particolare... ma in questo caso ad esempio... a quale dovrei ricondurlo?? allo stesso dell'esercizio che mi hai indicato??
Però mi sfugge come hai fatto a scoprire che è di tipo $Acos2x + Bsin2x $
ad esempio nella seguente equazione...
$y'' - y(x) = -10sin(3x) $ ??
Io ho trovato uno schemino... che mi indica il termine noto, le condizioni possibili e la forma di integrale particolare... ma in questo caso ad esempio... a quale dovrei ricondurlo?? allo stesso dell'esercizio che mi hai indicato??
Vai qui :
http://web.mate.polimi.it/viste/student ... amento=375
poi : Dispensa
e apri : eqdifflin.pdf
troverai tutte le regole necessarie per determinare le soluzioni particolari nei vari casi.
http://web.mate.polimi.it/viste/student ... amento=375
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Ah... grazie 1000!!! Molto gentile!!! 
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