Equazione differenziale di non facile soluzione
Svolgo qui questa equazione differenziale di primo grado a variabili separabili.NON RIESCO A A DETERMINARE L'INTEGRALE GENERALE!!!
$y'=(y-y^3)/(x(1+y^2))$
Andiamo a determinare l'integrale generale:
$(dy)/dx=(y-y^3)/(x(1+y^2))$
$(1+y^2)/(y-y^3)dy=1/xdx$ Soluzioni particolari risultano $y=0,y=+-1$
$int((1+y^2)/(y-y^3))dy=int1/xdx$
La risoluzione del'integrale di destra e' banale ed e'$log|x|$ mentre il primo intergrale della funzione razzionale risulta essere un pochino piu' complesso
:mettendo in evidenza una $y$il denominatore diviene $y(1-y^2) $che ancora si puo' scrivere come prodotto di: $(y+1)(1-y)$.Avendo cosi' scomposto si risolve l'integrale con il metodo dei fratti semplici.Non sviluppo tale metodo scrivo soltanto il risultato(se corretto)
$log|y|-log|y+1|-log|1-y|=log|x| $LA MIA DIFFICOLA STA NEL DETERMINARE DA QUESTA EQUAZIONE Y OVVERO L'INTEGRALE GENERALE!!!
$log(|y|)/(|y+1||1-y|)=log|x|$
$y/((y+1)(1-y))=x$ COME RISOLVO QUESTA EQUAZIONE????
$y'=(y-y^3)/(x(1+y^2))$
Andiamo a determinare l'integrale generale:
$(dy)/dx=(y-y^3)/(x(1+y^2))$
$(1+y^2)/(y-y^3)dy=1/xdx$ Soluzioni particolari risultano $y=0,y=+-1$
$int((1+y^2)/(y-y^3))dy=int1/xdx$
La risoluzione del'integrale di destra e' banale ed e'$log|x|$ mentre il primo intergrale della funzione razzionale risulta essere un pochino piu' complesso
:mettendo in evidenza una $y$il denominatore diviene $y(1-y^2) $che ancora si puo' scrivere come prodotto di: $(y+1)(1-y)$.Avendo cosi' scomposto si risolve l'integrale con il metodo dei fratti semplici.Non sviluppo tale metodo scrivo soltanto il risultato(se corretto)
$log|y|-log|y+1|-log|1-y|=log|x| $LA MIA DIFFICOLA STA NEL DETERMINARE DA QUESTA EQUAZIONE Y OVVERO L'INTEGRALE GENERALE!!!
$log(|y|)/(|y+1||1-y|)=log|x|$
$y/((y+1)(1-y))=x$ COME RISOLVO QUESTA EQUAZIONE????
Risposte
Potresti mettere il titolo in minuscolo?
Grazie.
Grazie.
Si scusami Martino!!!chi mi aiuta????
"messicoenuvole":
$y/((y+1)(1-y))=x$ COME RISOLVO QUESTA EQUAZIONE????
E' una equazione di secondo grado...
Sul resto non mi pronuncio
A volte il cervello si svuota di colpo e si dimenticano le banalita' ma io ancora non riesco a risolvere!!!
@messicoenuvole : l'ultimo passaggio che hai fatto è troppo audace 
Camillo, è solo un problema di parentesi mal messe, mi sembra.
$y/((y+1)(1-y))=x$
Ovvero:
$y=x(y+1)(1-y)$
E questa è una normale equazione di secondo grado nella variabile $y$.
$y/((y+1)(1-y))=x$
Ovvero:
$y=x(y+1)(1-y)$
E questa è una normale equazione di secondo grado nella variabile $y$.
Ciao Camillo!!!Non riesco a risolvere ottengo sempre$y$in funzione di $x$!!!!
"messicoenuvole":???
Non riesco a risolvere ottengo sempre$y$in funzione di $x$!!!!
$y=x(y+1)(1-y)$
ovvero:
$y=x(1-y^2)$
ovvero:
$xy^2 + y - x = 0$
E' una equazione di secondo grado in $y$, i cui coefficienti sono: $x$, $1$ e $-x$.
Giustissimo!!!Il fatto che si trattasse di un eq di secondo grado l'avevo capito ma mi meraviglia come possa ottenere 2 integrali generali da questa equazione differenziale!!!e' possibile!????GRAZIE
"messicoenuvole":
Giustissimo!!!Il fatto che si trattasse di un eq di secondo grado l'avevo capito ma mi meraviglia come possa ottenere 2 integrali generali da questa equazione differenziale!!!e' possibile!????GRAZIE
E' possibile sì. Quando si usa il metodo urang-utang©, può persino succedere che l'acqua vada in su.
L'equazione data, che ricopio qui per comodità:
$y'=(y-y^3)/(x(1+y^2))$
è a variabili separabili: $f(x,y) = a(x) b(y)$, dove $a(x) = 1/x$ e $b(y) = (y-y^3)/(1+y^2)$
La funzione $f(x,y) = (y-y^3)/(x(1+y^2))$ è di classe $C^{oo}$ sul suo insieme di definizione, quindi siamo certi che vi siano soluzioni dell'equazione.
Visto che la $f$ a secondo membro non è definita per $x=0$, le soluzioni massimali saranno definite su sottointervalli di $]-oo.0[$ e di ]0,+oo[$.
Assumiamo allora $x>0$. Il caso $x<0$ si tratta analogamente.
Poiché la funzione $b$ si annulla in $0,1,-1$, come già osservato fin dall'inizio da messicoenuvole, avremo tre soluzioni costanti: $y=0$, $y=1$ $y=-1$.
Le altre soluzioni saranno "confinate" nelle porzioni di piano delimitate da queste rette orizzontali (per la precisione, semirette, visto che stiamo considerando $x>0$).
Allora, vediamo ad esempio cosa succede per $y>1$.
Il problema si riconduce a:
$int((1+y^2)/(y-y^3))dy=int1/xdx$.
La decomposizione in fratti semplici dell'integranda a primo membro ci dà:
$(1+y^2)/(y-y^3)=1/y - 1/(y+1) - 1/(y-1)$.
Da cui, integrando (notare che non uso i valori assoluti!):
$log((y)/(y^2-1))=logx + c$
Ovvero:
$y/(y^2-1) = kx$, con $k$ costante positiva.
Da cui:
$kxy^2 - y - kx = 0$.
Le soluzioni di questa equazione di secondo grado sono:
$y = \frac{1 \pm \sqrt(1 + 4k^2x^2)}{2kx}$
Ma, come detto, stiamo considerando il caso delle soluzioni per cui $y>1$, quindi evidentemente dobbiamo prendere quella con il "+".
Quindi, la famiglia delle soluzioni massimali (per $x>0$ ed $y>1$; notare che in questo caso sono definite su tutto $]0,+oo[$, visto che il numeratore [come doveva essere...] è sempre strettamente maggiore del denominatore) è data da:
$y = \frac{1 + \sqrt(1 + 4k^2x^2)}{2kx}$
Gli altri casi si trattano allo stesso modo. Non ci vuole molto, perché ci sono solo dei segni che cambiano...
s.e.o.
Se qualcuno avesse voglia di verificare (magari con Maple o derive) che non ho fatto errori di calcolo, ovvero che la funzione data risolve davvero l'equazione differenziale, grazie.
[size=92]PS: Grazie a Camillo (vedi sotto). Ho corretto la formula della soluzione dell'equazione di secondo grado [/size][size=67](4 "di" di fila, al diavolo la crusca!)[/size]
Non so' come complimentarmi per la tua eccezzionale preparazione!!!Ho risolto anchio stanotte ma consideravo entrambe le soluzioni...trovando due integrali generali ovvero non scartavo quella con il meno $-$ Grave errore??E' stata la prima volta che mi trovo dinazi a eq. con questa risoluzione,sara' che ho risolto sempre quelli banali 
Grazie Fioravante!!!!
Grazie Fioravante!!!!
La soluzione corretta dell'equazione di secondo grado è :$y=(1+sqrt(1+4k^2x^2))/(2kx) $, per il resto non so .
"Camillo":
La soluzione corretta dell'equazione di secondo grado è :$y=(1+sqrt(1+4k^2x^2))/(2kx) $, per il resto non so .
appunto, sono una frana con i conti...
Se poi qualcuno con derive o similari facesse quell'opera di bene che avevo richiesto, ri-grazie.
Mathematica dà come risultato:
$y=(1+sqrt(1+4k^2x^2))/(2kx), y=(1-sqrt(1+4k^2x^2))/(2kx)$
$k$ coefficiente che deve essere determinato dalle condizioni al contorno.
Quindi, secondo il computer, tutto è corretto.
ps. Quello che contano sono le idee, la bassa manovalanza meglio lasciarla fare computer.
$y=(1+sqrt(1+4k^2x^2))/(2kx), y=(1-sqrt(1+4k^2x^2))/(2kx)$
$k$ coefficiente che deve essere determinato dalle condizioni al contorno.
Quindi, secondo il computer, tutto è corretto.
ps. Quello che contano sono le idee, la bassa manovalanza meglio lasciarla fare computer.
Grazie per il controllo. Devo dire che mi lascia un po' perplesso il risultato di mathematica. Ora non ho tempo, ma poi provero' a fare qualche verifica.
Comunque, a me interessava che venisse verificato che la soluzione da me trovata (e corretta da Camillo) risolvesse l'equazione differenziale. Almeno su questo i conti di mathematica mi tranquillizzano.
Comunque, a me interessava che venisse verificato che la soluzione da me trovata (e corretta da Camillo) risolvesse l'equazione differenziale. Almeno su questo i conti di mathematica mi tranquillizzano.
Le soluzioni per $x > 0 $ sono :
a) per $y<-1 ; y= (-1-sqrt(Delta))/(2kx)$ con $Delta=1+4k^2x^2$
b) per $ -1
c) per $0
d) per $y>1 ; y=(1+sqrt(Delta))/(2kx) $
e le soluzioni costanti $x=0 ;x=1 ; x= -1$.
a) per $y<-1 ; y= (-1-sqrt(Delta))/(2kx)$ con $Delta=1+4k^2x^2$
b) per $ -1
c) per $0
d) per $y>1 ; y=(1+sqrt(Delta))/(2kx) $
e le soluzioni costanti $x=0 ;x=1 ; x= -1$.
Ecco il grafico della famiglia di soluzioni della equazione differenziale in cui si vedono anche le soluzioni costanti.
Il grafico è stato ottenuto con DFIELD 2005.10 che si trova qui
http://math.rice.edu/~dfield/dfpp.html
Il grafico è stato ottenuto con DFIELD 2005.10 che si trova qui
http://math.rice.edu/~dfield/dfpp.html
bello!!!
Con ste computer non c’è più soddisfazione, una volta una ci si scervellava una settimana.
curiosità fai ing fisica al poli di milano^^?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo