Equazione differenziale di eulero non omogenea
Ciao a tutti,
stavo ripassando le equazioni differenziali in vista dell' esame di Analisi II e avevo un dubbio riguardo alla risoluzione di un esercizio:
Integrare la seguente equazione di Eulero completa:
$x^2(y'')+4x(y')+2y= sinx$
La soluzione omogenea mi risulta: $y=C1(1/x) + C2(1/x^2)$
Non mi torna invece la soluzione particolare che nel libro risulta essere : y* = (- sinx)/(x^2)
Per trovare la soluzione particolare ho provato a utilizzare la funzione : $y=A(sinx) + B(cosx)$
Derivandola e sostituendola nell'equazione di partenza non viene.
Non riesco a capire cosa sbaglio.
Potete aiutarmi a capire?
Grazie mille.
Danielle
stavo ripassando le equazioni differenziali in vista dell' esame di Analisi II e avevo un dubbio riguardo alla risoluzione di un esercizio:
Integrare la seguente equazione di Eulero completa:
$x^2(y'')+4x(y')+2y= sinx$
La soluzione omogenea mi risulta: $y=C1(1/x) + C2(1/x^2)$
Non mi torna invece la soluzione particolare che nel libro risulta essere : y* = (- sinx)/(x^2)
Per trovare la soluzione particolare ho provato a utilizzare la funzione : $y=A(sinx) + B(cosx)$
Derivandola e sostituendola nell'equazione di partenza non viene.
Non riesco a capire cosa sbaglio.
Potete aiutarmi a capire?
Grazie mille.
Danielle
Risposte
Non puoi trovare così la soluzione particolare perchè non è un'equazione a coefficienti costanti, anche se è lineare.
Ti consiglio di scriverla in forma normale e di usare il metodo di variazione delle costanti arbitrarie con le soluzioni linearmente indipendenti che hai trovato.
Ti consiglio di scriverla in forma normale e di usare il metodo di variazione delle costanti arbitrarie con le soluzioni linearmente indipendenti che hai trovato.
Cosa intendi per scriverla in forma normale?
Ho provato a usare il metodo della variazione delle costanti arbitrarie con le soluzioni che ho trovato.
Non vorrei aver fatto qualche errore nei calcoli, li riporto di seguito:
Ho fatto il determinante della matrice W(x,t) che nel mio caso risulta : $(((x^-1)*(t^-2))-((t^-1)*(x^2)))$
Poi ho fatto il determinante della matrice W(t) che risulta : $(1/t^4)$
Dalla regola ho integrato $det (W(x,t))/det (W(t))*(sint/t^2)$ in dt
ma l'integrale che ottengo è praticamente impossibile..cosa sbaglio?
Ho provato a usare il metodo della variazione delle costanti arbitrarie con le soluzioni che ho trovato.
Non vorrei aver fatto qualche errore nei calcoli, li riporto di seguito:
Ho fatto il determinante della matrice W(x,t) che nel mio caso risulta : $(((x^-1)*(t^-2))-((t^-1)*(x^2)))$
Poi ho fatto il determinante della matrice W(t) che risulta : $(1/t^4)$
Dalla regola ho integrato $det (W(x,t))/det (W(t))*(sint/t^2)$ in dt
ma l'integrale che ottengo è praticamente impossibile..cosa sbaglio?
In forma normale significa scrivere un'equazione di ordine $k$ come $y^((k))+sum_(i = 0)^(k-1)a_i(x)y^((i))=b(x)$.
Per applicare il metodo delle costanti arbitrarie io di solito imposto questo sistema:
$c_1'(x)w_1(x)+c_2'(x)w_2(x)=0$
$c'_1(x)w_1'(x)+c_2'(x)w_2'(x)=b(x)$
dove $w_1(x)$ e $w_2(x)$ sono due soluzioni linearmente indipendenti (ovviamente per $k=2$).
La soluzione particolare sarà quindi: $y_p(x)=c_1(x)w_1(x)+c_2(x)w_2(x)$.
Non so bene cosa stai facendo tu con la Wronskiana, ma non mi è mai capitato di usarla direttamente.
Comunque prima ho provato a fare i conti e mi torna il risultato del tuo libro, quindi prova come ti ho detto io.
Per applicare il metodo delle costanti arbitrarie io di solito imposto questo sistema:
$c_1'(x)w_1(x)+c_2'(x)w_2(x)=0$
$c'_1(x)w_1'(x)+c_2'(x)w_2'(x)=b(x)$
dove $w_1(x)$ e $w_2(x)$ sono due soluzioni linearmente indipendenti (ovviamente per $k=2$).
La soluzione particolare sarà quindi: $y_p(x)=c_1(x)w_1(x)+c_2(x)w_2(x)$.
Non so bene cosa stai facendo tu con la Wronskiana, ma non mi è mai capitato di usarla direttamente.
Comunque prima ho provato a fare i conti e mi torna il risultato del tuo libro, quindi prova come ti ho detto io.
Non ho capito come posso rendere in forma normale la mia equazione che ha come coefficienti delle funzioni della x?
Dovrei riuscire a scrivere la mia equazione come y" = eccc ma non capisco come fare.
Forse perchè abbiamo trattato sempre e solo esercizi con coefficienti costanti.
Ho provato a utilizzare il tuo sistema:
$c1'x^-1 + c2'x^-2 =0$
$c1'(-x^-2)+c2'(-2x^-3)=sinx$
ma mi viene :
$c1' =c2'/x^3$
$c2' = (sinx/(-x^-5-(2x^-3))) $
Puoi per cortesia riportarmi i tuoi conti perchè sto impazzendo..questo esercizio è diventato un chiodo nella mia testa!
Grazie mille!
Dovrei riuscire a scrivere la mia equazione come y" = eccc ma non capisco come fare.
Forse perchè abbiamo trattato sempre e solo esercizi con coefficienti costanti.
Ho provato a utilizzare il tuo sistema:
$c1'x^-1 + c2'x^-2 =0$
$c1'(-x^-2)+c2'(-2x^-3)=sinx$
ma mi viene :
$c1' =c2'/x^3$
$c2' = (sinx/(-x^-5-(2x^-3))) $
Puoi per cortesia riportarmi i tuoi conti perchè sto impazzendo..questo esercizio è diventato un chiodo nella mia testa!
Grazie mille!
Dividi tutto per $x^2$ ed è in forma in normale..
Se usi il sistema che hai impostato con la sola differenza di cambiare il termine noto con quello che ti ho detto, vedi che torna tutto.
Se usi il sistema che hai impostato con la sola differenza di cambiare il termine noto con quello che ti ho detto, vedi che torna tutto.
Grazie mille mi torna tutto!
Il tuo aiuto è stato preziosissimo!:D
Danielle
Il tuo aiuto è stato preziosissimo!:D
Danielle
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