Equazione differenziale di Eulero
Buongiorno,
preparando l'esame di analisi due mi sono imbattuto nella temibile equazione differenzaile di Eulero, di cui ho trovato veramente poco sia sui miei libri/materiale universitario che in rete.
Qualcuno delineare un procedimento generico per trattare tali equazioni, sia in forma completa che omogenea?
allego immagine dell'esercizio come spunto
preparando l'esame di analisi due mi sono imbattuto nella temibile equazione differenzaile di Eulero, di cui ho trovato veramente poco sia sui miei libri/materiale universitario che in rete.
Qualcuno delineare un procedimento generico per trattare tali equazioni, sia in forma completa che omogenea?
allego immagine dell'esercizio come spunto
Risposte
Per l'omogenea, supponi \( y = t^k \) e trova \( k\):
\[ t^2 \ddot y - 3 t \dot y - 5 y = 0 \overset {y = t^k} {\implies } k(k - 1) t^k - 3 k t^k - 5 t^k = 0 \implies k(k-1) -3k - 5 = 0 \]
ovvero \( k^2 -4k -5 = 0 \), che ha come soluzioni \[ k_\pm = \frac{ 4 \pm 6} {2} = 2 \pm {3} \]
Quindi, la soluzione generale dell'omogenea è:
\[ y_{\text{omo}} = c_1 t^{5} + c_2 t^{-1}, \quad c_1, c_2 \in \mathbb{R} \]
Per la non omogenea, dobbiamo trovare una soluzione particolare. Un modo per farlo è seguire lo stesso procedimento che abbiamo seguito per quella omogenea, ma supponendo più in generale che \( y = \alpha t^k \), dove \( \alpha \) sarà un valore fissato e lo dovremo determinare. Andando a sostituire, come prima:
\[ \alpha k(k - 1) t^k - 3 \alpha k t^k - 5 \alpha t^k = 4 t^3 \]
Questa relazione può valore per tutti i \( t \) soltanto se \( k = 3 \). Andando a sostituire e raccogliendo per \( \alpha \):
\[ - 8 \alpha t^3 = 4 t^3 \implies \alpha = - \frac{1}{2} \]
Dunque, una soluzione particolare è \( y_{\star} = - \dfrac{t^3}{2} \). Sommandola a quella dell'omogenea, ottieni la soluzione della non omogenea.
\[ t^2 \ddot y - 3 t \dot y - 5 y = 0 \overset {y = t^k} {\implies } k(k - 1) t^k - 3 k t^k - 5 t^k = 0 \implies k(k-1) -3k - 5 = 0 \]
ovvero \( k^2 -4k -5 = 0 \), che ha come soluzioni \[ k_\pm = \frac{ 4 \pm 6} {2} = 2 \pm {3} \]
Quindi, la soluzione generale dell'omogenea è:
\[ y_{\text{omo}} = c_1 t^{5} + c_2 t^{-1}, \quad c_1, c_2 \in \mathbb{R} \]
Per la non omogenea, dobbiamo trovare una soluzione particolare. Un modo per farlo è seguire lo stesso procedimento che abbiamo seguito per quella omogenea, ma supponendo più in generale che \( y = \alpha t^k \), dove \( \alpha \) sarà un valore fissato e lo dovremo determinare. Andando a sostituire, come prima:
\[ \alpha k(k - 1) t^k - 3 \alpha k t^k - 5 \alpha t^k = 4 t^3 \]
Questa relazione può valore per tutti i \( t \) soltanto se \( k = 3 \). Andando a sostituire e raccogliendo per \( \alpha \):
\[ - 8 \alpha t^3 = 4 t^3 \implies \alpha = - \frac{1}{2} \]
Dunque, una soluzione particolare è \( y_{\star} = - \dfrac{t^3}{2} \). Sommandola a quella dell'omogenea, ottieni la soluzione della non omogenea.
[xdom="Raptorista"]Sposto da Analisi superiore.[/xdom]
In questo caso invece viene consigliata la sostituzione della variabile indipendente, ma non riesco proprio a capire come si riconduce a z”...
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