Equazione differenziale di Bernoulli
Salve a tutti, ho risolto la seguente equazione differenziale ma ho un dubbio, non scrivo tutti i passaggi visto che mi interessa soltanto un quesito.
L'equazione differenziale è
$ y'=3/x *y+x^2root(3)y $
Ho come soluzione $ y= 0 $ e poi andando a dividere tutto per $ root(3)y $ e avendo posto $ z = y/(root(3)y) $
ottengo l'equazione differenziale lineare seguente:
$ z' -2/x*z=2/3*x^2 $
che ha come soluzioni quelle del tipo:
$ z(x)= x^2(c+2/3*x) $
a questo punto devo ricavare la soluzione in $y(x)$
dato che $z(x)=y/(root(3)y)= y^(2/3)$ mi sono ricavato $ y(x) $ che è $ y(x)=+- (root(2)(z^3)) $
ecco il problema è proprio quì, non capisco il perchè la mia prof. ha preso come soluzione quella col segno $ + $ , e anche facendola su Wolfram prende quella col segno $ + $
Grazie a tutti in anticipo
L'equazione differenziale è
$ y'=3/x *y+x^2root(3)y $
Ho come soluzione $ y= 0 $ e poi andando a dividere tutto per $ root(3)y $ e avendo posto $ z = y/(root(3)y) $
ottengo l'equazione differenziale lineare seguente:
$ z' -2/x*z=2/3*x^2 $
che ha come soluzioni quelle del tipo:
$ z(x)= x^2(c+2/3*x) $
a questo punto devo ricavare la soluzione in $y(x)$
dato che $z(x)=y/(root(3)y)= y^(2/3)$ mi sono ricavato $ y(x) $ che è $ y(x)=+- (root(2)(z^3)) $
ecco il problema è proprio quì, non capisco il perchè la mia prof. ha preso come soluzione quella col segno $ + $ , e anche facendola su Wolfram prende quella col segno $ + $
Grazie a tutti in anticipo
Risposte
A parte che la soluzione è \( y= z^{\frac{3}{2}} \), il discorso credo sia che \( y \) deve essere assunto positivo, altrimenti non avrebbe senso elevarlo ad un esponente razionale (anche se la faccenda è abbastanza dibattuta...).
in che senso non avrebbe senso elevarlo ad esponente razionale? Scusa la mia ignoranza
Si dibatte spesso sul fatto che per definire la funzione potenza per ogni esponente razionale la base debba essere strettamente positiva. Ad esempio,
\[ (-1)^{\alpha}, \ \alpha \in \mathbb{Q} \]
ha senso per alcuni (infiniti) \({\alpha}\), ma per altri (infiniti) \(\alpha \) no, se si vuole rimanere in \(\mathbb{R} \). Wolfram Alpha rispetta la convenzione di utilizzare soltanto basi positive, tanto che se gli viene chiesta una cosa come \( \sqrt[3] {a} = a^{\frac{1}{3}} \) risponde che è vero se \( a > 0 \). Se cerchi nel forum troverai molteplici discussioni al riguardo.
\[ (-1)^{\alpha}, \ \alpha \in \mathbb{Q} \]
ha senso per alcuni (infiniti) \({\alpha}\), ma per altri (infiniti) \(\alpha \) no, se si vuole rimanere in \(\mathbb{R} \). Wolfram Alpha rispetta la convenzione di utilizzare soltanto basi positive, tanto che se gli viene chiesta una cosa come \( \sqrt[3] {a} = a^{\frac{1}{3}} \) risponde che è vero se \( a > 0 \). Se cerchi nel forum troverai molteplici discussioni al riguardo.
E se parli di esponenti razionali con BeRationalGetReal, sei sicuro di essere dalla persona giusta 
Comunque io direi che, partendo dalla sostituzione \(z=\frac{y}{\sqrt[3]{y}}\) per la quale non vi è alcun problema (stando in \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\)), deve essere \(z>0\) e perciò, dato il legame \(z=y^\frac{2}{3}\), \(y>0\).
Comunque io direi che, partendo dalla sostituzione \(z=\frac{y}{\sqrt[3]{y}}\) per la quale non vi è alcun problema (stando in \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\)), deve essere \(z>0\) e perciò, dato il legame \(z=y^\frac{2}{3}\), \(y>0\).
[ot]
In realtà è un nome che mi è venuto in mente da questa immagine:
quindi non lo considererei proprio come un "nome parlante"
[/ot]
"seb":
E se parli di esponenti razionali con BeRationalGetReal, sei sicuro di essere dalla persona giusta
Comunque io direi che, partendo dalla sostituzione \(z=\frac{y}{\sqrt[3]{y}}\) per la quale non vi è alcun problema (stando in \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\)), deve essere \(z>0\) e perciò, dato il legame \(z=y^\frac{2}{3}\), \(y>0\).
In realtà è un nome che mi è venuto in mente da questa immagine:
quindi non lo considererei proprio come un "nome parlante"
[/ot]
[ot]Ahahah! [/ot]
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