Equazione differenziale del tipo?
Ciao a tutti.
Mi trovo in difficoltà nell'individuare la seguente tipologia di equazione differenziale:
$2t^2y'' - 3ty' + 3y = t^2 + 4$
E' un'equazione non omogenea, di secondo grado a "coefficienti non costanti".. Ho un problema di base e cioè proprio quel non costanti.
Erroneamente affrontavo tale problema come se le $t$ non ci fossero per ricavare il polinomio caratteristico, ma ho capito in seguito che sbagliavo.
Per quanto riguarda le analoghe equazioni a coefficienti costanti non ho difficoltà avendo capito come vanno affrontate.
Non riesco però a trovare in che tipo di situazione mi trovo in questo caso, cioè quali siano, e come si ricavino, le soluzioni omogenee dell'equazione con i coefficienti in $t$.
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto.
Mi trovo in difficoltà nell'individuare la seguente tipologia di equazione differenziale:
$2t^2y'' - 3ty' + 3y = t^2 + 4$
E' un'equazione non omogenea, di secondo grado a "coefficienti non costanti".. Ho un problema di base e cioè proprio quel non costanti.
Erroneamente affrontavo tale problema come se le $t$ non ci fossero per ricavare il polinomio caratteristico, ma ho capito in seguito che sbagliavo.
Per quanto riguarda le analoghe equazioni a coefficienti costanti non ho difficoltà avendo capito come vanno affrontate.
Non riesco però a trovare in che tipo di situazione mi trovo in questo caso, cioè quali siano, e come si ricavino, le soluzioni omogenee dell'equazione con i coefficienti in $t$.
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto.
Risposte
Ciao Gando89,
Prova ipotizzando per l'equazione omogenea associata una soluzione del tipo $t^{\lambda}$, $t > 0$: dovresti riuscire a trovare facilmente l'equazione caratteristica...
Prova ipotizzando per l'equazione omogenea associata una soluzione del tipo $t^{\lambda}$, $t > 0$: dovresti riuscire a trovare facilmente l'equazione caratteristica...
Ciao pilloeffe.
Intanto grazie per la risposta.
Ok allora, per quanto riguarda la soluzione sarà del tipo $t^\lambda$, come da te scritto.
Perciò trovando i valori del polinomio caratteristico avrei una cosa del tipo:
$ C1*t^(\lambda1) + C2*t^(\lambda2)$ esatto?
Funziona per qualsiasi $\lambda$?
A questo punto la domanda successiva è, come trovo i due $\lambda$?
Dall'esercizio proposto ho visto che, al contrario di come sono andato sul sicuro io, non posso semplicemente fare il polinomio caratteristico coi coefficienti così come sono..
Intanto grazie per la risposta.
Ok allora, per quanto riguarda la soluzione sarà del tipo $t^\lambda$, come da te scritto.
Perciò trovando i valori del polinomio caratteristico avrei una cosa del tipo:
$ C1*t^(\lambda1) + C2*t^(\lambda2)$ esatto?
Funziona per qualsiasi $\lambda$?
A questo punto la domanda successiva è, come trovo i due $\lambda$?
Dall'esercizio proposto ho visto che, al contrario di come sono andato sul sicuro io, non posso semplicemente fare il polinomio caratteristico coi coefficienti così come sono..
Ciao Gando89,
Se sostituisci $y(t) = t^{\lambda}$ nell'equazione differenziale omogenea associata, si ha:
$2t^2\lambda(\lambda - 1)t^{\lambda - 2} - 3t\lambda t^{\lambda - 1} + 3t^{\lambda} = 0$
cioè
$2\lambda(\lambda - 1)t^{\lambda} - 3\lambda t^{\lambda} + 3t^{\lambda} = 0$
Dividendo tutto per $t^{\lambda} > 0$ si trova l'equazione caratteristica:
$2\lambda(\lambda - 1) - 3\lambda + 3 = 0$
dalla quale puoi trovare i due valori di $\lambda$.
Se sostituisci $y(t) = t^{\lambda}$ nell'equazione differenziale omogenea associata, si ha:
$2t^2\lambda(\lambda - 1)t^{\lambda - 2} - 3t\lambda t^{\lambda - 1} + 3t^{\lambda} = 0$
cioè
$2\lambda(\lambda - 1)t^{\lambda} - 3\lambda t^{\lambda} + 3t^{\lambda} = 0$
Dividendo tutto per $t^{\lambda} > 0$ si trova l'equazione caratteristica:
$2\lambda(\lambda - 1) - 3\lambda + 3 = 0$
dalla quale puoi trovare i due valori di $\lambda$.
Ok.. ci ho messo 5 minuti buoni per capire che OVVIAMENTE se
$y(t) = t^\lambda$
allora
$y'$ ed $y''$ (cioè i valori con cui li avevi sostituiti)
erano le derivate..
Voglio un cervello più grandeeeee
Scherzi a parte ti ringrazio davvero.. Ci ho perso il pomeriggio su questa cosa...
Grazie mille ancora..
$y(t) = t^\lambda$
allora
$y'$ ed $y''$ (cioè i valori con cui li avevi sostituiti)
erano le derivate..
Voglio un cervello più grandeeeee
Scherzi a parte ti ringrazio davvero.. Ci ho perso il pomeriggio su questa cosa...
Grazie mille ancora..
Ma figurati, di niente... 
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