Equazione Differenziale del terzo ordine
Buonasera,colgo l'occasione per accodarmi a questo post un pç "generico" per proporre una equazione differenziale che non riesco in alcun modo a risolvere.
$ x^2f'''(x)-xf''(x)+f'(x)+xf(x)f''(x)-f(x)f'(x)+xf'^2(x)=0 $
con le seguenti condizioni al contorno :
$ f'(0)=f(0)=0 $
Esso deriva dallo studio di un getto assialsimmetrico in coordinate polari.
Ho provato a risolvere anche mediante Mathematica ma non riesco(attraverso la funzione DSolve).
Ringrazio coloro che mi aiuteranno e auguro a tutti buon Natale
$ x^2f'''(x)-xf''(x)+f'(x)+xf(x)f''(x)-f(x)f'(x)+xf'^2(x)=0 $
con le seguenti condizioni al contorno :
$ f'(0)=f(0)=0 $
Esso deriva dallo studio di un getto assialsimmetrico in coordinate polari.
Ho provato a risolvere anche mediante Mathematica ma non riesco(attraverso la funzione DSolve).
Ringrazio coloro che mi aiuteranno e auguro a tutti buon Natale
Risposte
Vedi da te che le condizioni al contorno non sono sufficienti a garantirti l'unicità della soluzione (servirebbe almeno un'altra condizione).
Inoltre, qual è la forma della EDO senza sviluppare troppo le derivate (sembrano esserci derivate di prodotti)?
Inoltre, qual è la forma della EDO senza sviluppare troppo le derivate (sembrano esserci derivate di prodotti)?
Ciao gugo,
si mi rendo conto che effettivamente manca una condizione al contorno.
Per quanto riguarda il resto ho notato che ci sono delle derivate di prodotti ed infatti proprio li stavo indirizzandomi ma non riesco a porre il tutto in una forma che sia facile.
Ho notato per esempio che $ d/dx ( xf'f-f^2)=-f'f+xf'^2+xff'' $
Il resto però non riesco a sbrogliarlo.
Ho provato a fare un quoziente tra due funzioni composte ma non riesco a "semplificare".
Grazie della risposta e dell'aiuto
si mi rendo conto che effettivamente manca una condizione al contorno.
Per quanto riguarda il resto ho notato che ci sono delle derivate di prodotti ed infatti proprio li stavo indirizzandomi ma non riesco a porre il tutto in una forma che sia facile.
Ho notato per esempio che $ d/dx ( xf'f-f^2)=-f'f+xf'^2+xff'' $
Il resto però non riesco a sbrogliarlo.
Ho provato a fare un quoziente tra due funzioni composte ma non riesco a "semplificare".
Grazie della risposta e dell'aiuto
Per i primi tre termini, mi pare che una integrazione per parti ti fornisca il termine da cui provengano. Infatti
$$\int(x^2 f'''-x f''+f')\ dx=x^2 f''-\int 2x f''\ dx-\int xf''\ dx+f=x^2 f''+f-3\left[xf'-\int f'\ dx\right]=x^2 f''-3xf'+4f+c$$
e pertanto
$$\frac{d}{dx}(x^2 f''-3xf'+4f)=x^2 f''-xf''+f'$$
A questo punto l'equazione si riscrive come
$$\frac{d}{dx}(x^2 f''-3xf'+4f+xff'-f^2)=0$$
Ora, senz ala terza condizione iniziale, non credo tu vada da nessuna parte. Tuttavia, mi pare di capire che il problema sia riferito ad una funzione che calcola una sorta di "flusso" di una certa sostanza in relazione alla variabile di posizione $x$. Quindi direi che le derivate prima e seconda rappresentino, rispettivamente, una specie di "velocità" e "accelerazione" di tale flusso (sto usando una terminologia un po' generica visto che non hai specificato niente di più riguardo al problema). Supponendo che $f'''(0)=a$ (potrebbe essere un valore qualsiasi al momento), l'equazione attraverso una integrazione si riconduce a quella equivalente seguente
$$x^2 f''-3xf'+4f+xff'-f^2=0$$
con condizioni iniziali $f(0)=f'(0)=0$.
$$\int(x^2 f'''-x f''+f')\ dx=x^2 f''-\int 2x f''\ dx-\int xf''\ dx+f=x^2 f''+f-3\left[xf'-\int f'\ dx\right]=x^2 f''-3xf'+4f+c$$
e pertanto
$$\frac{d}{dx}(x^2 f''-3xf'+4f)=x^2 f''-xf''+f'$$
A questo punto l'equazione si riscrive come
$$\frac{d}{dx}(x^2 f''-3xf'+4f+xff'-f^2)=0$$
Ora, senz ala terza condizione iniziale, non credo tu vada da nessuna parte. Tuttavia, mi pare di capire che il problema sia riferito ad una funzione che calcola una sorta di "flusso" di una certa sostanza in relazione alla variabile di posizione $x$. Quindi direi che le derivate prima e seconda rappresentino, rispettivamente, una specie di "velocità" e "accelerazione" di tale flusso (sto usando una terminologia un po' generica visto che non hai specificato niente di più riguardo al problema). Supponendo che $f'''(0)=a$ (potrebbe essere un valore qualsiasi al momento), l'equazione attraverso una integrazione si riconduce a quella equivalente seguente
$$x^2 f''-3xf'+4f+xff'-f^2=0$$
con condizioni iniziali $f(0)=f'(0)=0$.
Ciao ciampax,
grazie dell'immenso aiuto.
Il problema che sto trattando deriva dalle equazioni di Navier-Stokes per un getto assialsimmetrico scritto in coordinate cilindriche da cui facendo delle dovute semplificazioni per quanto riguarda gli sforzi di "taglio",introducendo una funzione di corrente,cerco delle soluzioni per i profili di velocità nelle direzioni assiali e radiali.
Sulle dispense del mio professore ci sono effettivamente solo due condizioni al contorno e sto cercando la terza....
Grazie ancora
grazie dell'immenso aiuto.
Il problema che sto trattando deriva dalle equazioni di Navier-Stokes per un getto assialsimmetrico scritto in coordinate cilindriche da cui facendo delle dovute semplificazioni per quanto riguarda gli sforzi di "taglio",introducendo una funzione di corrente,cerco delle soluzioni per i profili di velocità nelle direzioni assiali e radiali.
Sulle dispense del mio professore ci sono effettivamente solo due condizioni al contorno e sto cercando la terza....
Grazie ancora
Sono andato avanti ma ad un certo punto mi sono comunque bloccato.
Ho provato a fare il secondo "step" ovvero la seconda integrazione ma sono arrivato ad un punto in cui effettivamente non riesco più a muovermi.
Quando saranno finite le festività andrò dal mio professore per ulteriori spiegazioni.
Ringrazio tutti voi che mi avete aiutato
Ho provato a fare il secondo "step" ovvero la seconda integrazione ma sono arrivato ad un punto in cui effettivamente non riesco più a muovermi.
Quando saranno finite le festività andrò dal mio professore per ulteriori spiegazioni.
Ringrazio tutti voi che mi avete aiutato
Non credo proprio che tu possa semplicemente andare avanti con una nuova integrazione. Quella che ti si presenta è una ODE del secondo ordine non lineare a coefficienti variabili e ci sono sicuramente dei metodi per provare a risolverla analiticamente (ma non è detto che tu ci riesca, eh?). Io proverei un tentativo di risoluzione diretto, cercando di scriverla in un modo alternativo, magari riuscendo a riportarla in una forma "nota".
EDIT: ho notato una cosa che tende a semplificare l'equazione: correggimi se sbaglio ma se ho capito bene $x$ rappresenta una distanza radiale, per cui possiamo supporre che $x>0$, giusto? Mi pare allora lecito il seguente cambiamento di variabile dipendente $x=e^t$. Così facendo, otteniamo la nuova funzione incognita $F(t)=f(x(t))$. Usando la regola di derivazione delle funzioni composte e indicando con un punto la derivata rispetto a $t$ otteniamo
$$f'=\frac{df}{dx}=\frac{dF}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}=\frac{\dot{F}}{\dot{x}}=e^{-t}\ \dot{F}\\ f''=\frac{d}{dt}\left(e^{-t}\ \dot{F}\right)\cdot e^{-t}=\left(-e^{-t}\ \dot{F}+e^{-t}\ \ddot{F}\right)\cdot e^{-t}=e^{-2t}\left(\ddot{F}-\dot{F}\right)$$
Sostituendo nell'equazione di partenza, abbiamo
$$e^{2t}\cdot e^{-2t}\left(\ddot{F}-\dot{F}\right)-3e^{t}\cdot e^{-t}\ \dot{F}+e^t\ F\ e^{-t}\ \dot{F}+4F-F^2=0$$
da cui la nuova equazione nella variabile $t$ e nell'incognita $F=F(t)$
$$\ddot{F}-4\dot{F}+4F+F\dot{F}-F^2=0$$
A questo punto puoi provare a risolvere questa come equazione differenziale e sostituire, poi, la variabile $t$ con $\log x$, osservando pure che $x=0\ \Leftrightarrow\ t\to-\infty$.
EDIT: ho notato una cosa che tende a semplificare l'equazione: correggimi se sbaglio ma se ho capito bene $x$ rappresenta una distanza radiale, per cui possiamo supporre che $x>0$, giusto? Mi pare allora lecito il seguente cambiamento di variabile dipendente $x=e^t$. Così facendo, otteniamo la nuova funzione incognita $F(t)=f(x(t))$. Usando la regola di derivazione delle funzioni composte e indicando con un punto la derivata rispetto a $t$ otteniamo
$$f'=\frac{df}{dx}=\frac{dF}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}=\frac{\dot{F}}{\dot{x}}=e^{-t}\ \dot{F}\\ f''=\frac{d}{dt}\left(e^{-t}\ \dot{F}\right)\cdot e^{-t}=\left(-e^{-t}\ \dot{F}+e^{-t}\ \ddot{F}\right)\cdot e^{-t}=e^{-2t}\left(\ddot{F}-\dot{F}\right)$$
Sostituendo nell'equazione di partenza, abbiamo
$$e^{2t}\cdot e^{-2t}\left(\ddot{F}-\dot{F}\right)-3e^{t}\cdot e^{-t}\ \dot{F}+e^t\ F\ e^{-t}\ \dot{F}+4F-F^2=0$$
da cui la nuova equazione nella variabile $t$ e nell'incognita $F=F(t)$
$$\ddot{F}-4\dot{F}+4F+F\dot{F}-F^2=0$$
A questo punto puoi provare a risolvere questa come equazione differenziale e sostituire, poi, la variabile $t$ con $\log x$, osservando pure che $x=0\ \Leftrightarrow\ t\to-\infty$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo