Equazione differenziale del terzo ordine

[Jek1]

Ciao a tutti, non riesco a procedere nella risoluzione di un'equazione differenziale.
$\{(y^((3)) (t)-y^((2)) (t)-4y^((1)) (t) +4 y(t)= e^t),(y(0)=0),(y^((1)) (0)=0), (y^((2)) (0)=0):}$
Allora trovo le soluzioni dell'equazione caratteristica associata all'equazione differenziale omogenea:
$z^3-z^2-4z+4=0$
$(z-1)^2 (z+4)=0$
da cui ottengo:
$z=1$ con molteplicità pari a $2$
$z=-4$ con molteplicità pari a $1$
quindi la soluzione generale dell'equazione differenziale è:
$y_0 (t)= c_1 e^x + c_2 x e^x + c_3 e^-4x$

Ora non so proprio come procedere. Qualcuno è in grado di aiutarmi?

[gugo82]

Innanzitutto, hai fattorizzato male il polinomio caratteristico.

Facendo bene i conti, si vede che il numero complesso \(\alpha +\imath\ \beta\) individuato dal termine noto è \(1+\imath\ 0=1\); dato che \(1\) è radice del polinomio caratteristico di molteplicità \(1\), il metodo di somiglianza ti dice che devi cercare la soluzione particolare nella forma \(y(t) = At e^t\).
Conseguentemente:
\[
\begin{split}
y^\prime (t) &= A\ (t+1)\ e^t\\
y^{\prime \prime} (t) &= A\ (t+2)\ e^t\\
y^{\prime \prime \prime} (t) &= A\ (t+3)\ e^t
\end{split}
\]
e dunque, sostituendo nell'equazione e semplificando gli esponenziali:
\[
A\ (t+3) - A\ (t+2) - 4A\ (t+1) + 4A\ t = 1 \qquad \Leftrightarrow \qquad -3A=1
\]
da cui \(A=-1/3\); quindi la soluzione particolare cercata è \(y(x) = -\frac{1}{3}\ te^t\).