Equazione differenziale del secondo ordine non omogenea
Ciao Ragazzi , Ho avuto difficoltà nella risoluzione di questa equazione differenziale:
y''+9''=12xSin(3x)
Ho tentato di risolverla sia con il metodo di somiglianza che con quello di Lagrange ma ho trovato in entrambi casi difficoltà. Se qualcuno potesse essermi d'aiuto ve ne sarei grato
y''+9''=12xSin(3x)
Ho tentato di risolverla sia con il metodo di somiglianza che con quello di Lagrange ma ho trovato in entrambi casi difficoltà. Se qualcuno potesse essermi d'aiuto ve ne sarei grato
Risposte
Sicuro del testo?
Ciao Jacklf,
Benvenuto sul forum!
Scrivi bene il testo dell'equazione, perché quella che hai scritto non è corretta.
Vedo due possibili correzioni:
1) $ y''(x) + 9y'(x) = 12 x sin(3x) $
2) $ y''(x) + 9y'(x) = 12 sin(3x) $
Ma solo tu puoi farci sapere qual è il testo corretto...
Benvenuto sul forum!
"Jacklf":
y''+9''=12xSin(3x)
Scrivi bene il testo dell'equazione, perché quella che hai scritto non è corretta.
Vedo due possibili correzioni:
1) $ y''(x) + 9y'(x) = 12 x sin(3x) $
2) $ y''(x) + 9y'(x) = 12 sin(3x) $
Ma solo tu puoi farci sapere qual è il testo corretto...
Il testo corretto è: $y''(x) + 9y'(x) = 12x sin(3x)$.
Applicherei il metodo di somiglianza dopo aver ridotto l'ordine della EDO mediante sostituzione.
Prova.
Prova.
Avevo già tentato ma non riesco a risolvere il sistema dopo aver fatto la sostituzione , è quello che mi frena
Si vede subito che la soluzione dell'equazione omogenea associata è la seguente:
$y_o(x) = c_1 + c_2 e^{-9x} $
Per la soluzione particolare basta cercarla nella forma $y_p(x) = (Ax + B)cos(3x) + (Cx + D) sin(3x) $,
ove $A$, $B$, $C$ e $D$ sono costanti da determinare. L'esercizio non è difficile, ma direi alquanto "palloso"...
$y_p''(x) = (- 9 B + 6 C - 9 A x) cos(3 x) - 3 (2 A + 3 (D + C x)) sin(3 x) $
$y_p'(x) = (A + 3 (D + C x)) cos(3 x) + (-3 B + C - 3 A x) sin(3 x) $
Quindi dall'equazione differenziale $ y''(x) + 9y'(x) = 12x sin(3x) $ si ha:
$(- 9 B + 6 C - 9 A x) cos(3 x) - 3 (2 A + 3 (D + C x)) sin(3 x) + 9(A + 3 (D + C x)) cos(3 x) + $
$ + 9(-3 B + C - 3 A x) sin(3 x) = 12x sin(3x) $
$(- 9 B + 6 C) cos(3x) - 9 A x cos(3 x) + (- 6 A - 9D)sin(3x) - 9C x sin(3 x) + (9A + 27D) cos(3x) + 27C x cos(3 x) + (-27 B + 9C) sin(3x) - 27 A x sin(3 x) = 12x sin(3x) $
Da cui:
${(- 9B + 6C + 9A + 27D = 0),(- 9A + 27C = 0),(- 6A - 9D - 27 B + 9C = 0),(- 9C - 27A = 12):} $
Semplificando:
${(3B - 2C - 3A - 9D = 0),(A - 3C = 0),(2A + 3D + 9B - 3C = 0),(3C + 9A = - 4):} $
Dalla seconda si trova subito $A = 3C $, che sostituito nell'ultima porge
$3C + 27C = - 4 \implies C = - 2/15 $
Dalla seconda equazione poi si ha $A = 3C = - 2/5 $
A questo punto, sostituendo tali valori di $A$ e $C$ nelle altre due equazioni, si ottiene il sistema seguente:
${(3B + 4/15 + 6/5 - 9D = 0),(- 4/5 + 3D + 9B + 2/5 = 0):} $
${(3B - 9D = - 22/15),(3D + 9B = 2/5):} $
Sostituendo la prima nella seconda si trova
$3D + 27D - 22/5 = 2/5 \implies D = 24/150 = 8/50 = 4/25 $
Sostituendo nella seconda si ottiene $9B = 2/5 - 12/25 = 10/25 - 12/25 = - 2/25 \implies B = - 2/225 $
In definitiva la soluzione dell'equazione differenziale proposta è la seguente:
$y(x) = y_o(x) + y_p(x) = c_1 + c_2 e^{-9x} - (2/5 x + 2/225) cos(3x) - (2/15 x - 4/25) sin(3x) $
$y_o(x) = c_1 + c_2 e^{-9x} $
Per la soluzione particolare basta cercarla nella forma $y_p(x) = (Ax + B)cos(3x) + (Cx + D) sin(3x) $,
ove $A$, $B$, $C$ e $D$ sono costanti da determinare. L'esercizio non è difficile, ma direi alquanto "palloso"...
$y_p''(x) = (- 9 B + 6 C - 9 A x) cos(3 x) - 3 (2 A + 3 (D + C x)) sin(3 x) $
$y_p'(x) = (A + 3 (D + C x)) cos(3 x) + (-3 B + C - 3 A x) sin(3 x) $
Quindi dall'equazione differenziale $ y''(x) + 9y'(x) = 12x sin(3x) $ si ha:
$(- 9 B + 6 C - 9 A x) cos(3 x) - 3 (2 A + 3 (D + C x)) sin(3 x) + 9(A + 3 (D + C x)) cos(3 x) + $
$ + 9(-3 B + C - 3 A x) sin(3 x) = 12x sin(3x) $
$(- 9 B + 6 C) cos(3x) - 9 A x cos(3 x) + (- 6 A - 9D)sin(3x) - 9C x sin(3 x) + (9A + 27D) cos(3x) + 27C x cos(3 x) + (-27 B + 9C) sin(3x) - 27 A x sin(3 x) = 12x sin(3x) $
Da cui:
${(- 9B + 6C + 9A + 27D = 0),(- 9A + 27C = 0),(- 6A - 9D - 27 B + 9C = 0),(- 9C - 27A = 12):} $
Semplificando:
${(3B - 2C - 3A - 9D = 0),(A - 3C = 0),(2A + 3D + 9B - 3C = 0),(3C + 9A = - 4):} $
Dalla seconda si trova subito $A = 3C $, che sostituito nell'ultima porge
$3C + 27C = - 4 \implies C = - 2/15 $
Dalla seconda equazione poi si ha $A = 3C = - 2/5 $
A questo punto, sostituendo tali valori di $A$ e $C$ nelle altre due equazioni, si ottiene il sistema seguente:
${(3B + 4/15 + 6/5 - 9D = 0),(- 4/5 + 3D + 9B + 2/5 = 0):} $
${(3B - 9D = - 22/15),(3D + 9B = 2/5):} $
Sostituendo la prima nella seconda si trova
$3D + 27D - 22/5 = 2/5 \implies D = 24/150 = 8/50 = 4/25 $
Sostituendo nella seconda si ottiene $9B = 2/5 - 12/25 = 10/25 - 12/25 = - 2/25 \implies B = - 2/225 $
In definitiva la soluzione dell'equazione differenziale proposta è la seguente:
$y(x) = y_o(x) + y_p(x) = c_1 + c_2 e^{-9x} - (2/5 x + 2/225) cos(3x) - (2/15 x - 4/25) sin(3x) $
"Jacklf":
Avevo già tentato ma non riesco a risolvere il sistema dopo aver fatto la sostituzione , è quello che mi frena
Riporta e ricontrolla i passaggi. Avrai sbagliato qualche calcolo.
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