Equazione differenziale del secondo ordine non omogenea
Ciao, avrei bisogno di un paio di cose, la prima un aiuto per la risoluzione dell equazione differenzaiale seguente:
$ v''+(k^2)*v=(k^2)f $
z è la nostra variabile, v la nostra funzione
Gli step sono questi (in linea di massima)
1) studio omogenea associata, trovo quindi $ lambda =+- ik $
2) avrò l'omogenea associata della forma: $ v0= c1*(e^(ikz))+c2*(e^(-ikz)) $
3) da qui dovrei sfruttare l'equazione di eulero per metterla in forma trigonometrica e dovrebbe venir fuori $v0= Acos(kz)+Bsen(kz)$
Mi fate vedere per favore come viene fuori questo passaggio??
4) da qui in poi sono perso ...
Chiaramente la richiesta successiva era questa, devo mettermi sotto a ripassare tutto quello che riguarda il calcolo differenziale (integrali, eq differenziali, e chi più ne ha più ne metta), avete qualche consiglio, dei testi o delle video lezioni che riescano in maniera semplice ad aiutarmi? Una linea guida di come affrontare le varie problematiche e in che ordine?
Vorrei evitare (nei limiti del possibile) tutte quelle trattazioni super rigorose che si trovano.
grazie infinite
$ v''+(k^2)*v=(k^2)f $
z è la nostra variabile, v la nostra funzione
Gli step sono questi (in linea di massima)
1) studio omogenea associata, trovo quindi $ lambda =+- ik $
2) avrò l'omogenea associata della forma: $ v0= c1*(e^(ikz))+c2*(e^(-ikz)) $
3) da qui dovrei sfruttare l'equazione di eulero per metterla in forma trigonometrica e dovrebbe venir fuori $v0= Acos(kz)+Bsen(kz)$
Mi fate vedere per favore come viene fuori questo passaggio??
4) da qui in poi sono perso ...
Chiaramente la richiesta successiva era questa, devo mettermi sotto a ripassare tutto quello che riguarda il calcolo differenziale (integrali, eq differenziali, e chi più ne ha più ne metta), avete qualche consiglio, dei testi o delle video lezioni che riescano in maniera semplice ad aiutarmi? Una linea guida di come affrontare le varie problematiche e in che ordine?
Vorrei evitare (nei limiti del possibile) tutte quelle trattazioni super rigorose che si trovano.
grazie infinite
Risposte
"Cla1608":
studio omogenea associata, trovo quindi $ lambda =+- 2ik $
In realtà le soluzioni del polinomio caratteristico sono $\lambda_{1,2}=\pm ik$, ma probabilmente è un errore di trascrizione qui sul forum perché poi nel punto (2) le hai messe correttamente agli esponenti degli esponenziali.
"Cla1608":
3) da qui dovrei sfruttare l'equazione di eulero per metterla in forma trigonometrica e dovrebbe venir fuori $v0= Acos(kz)+Bsen(kz)$
Mi fate vedere per favore come viene fuori questo passaggio??
Hai che $e^{i\theta}=\cos \theta +i \sin \theta$, dunque $e^{ikz}=\cos(kz)+i \sin (kz)$ e dunque
$$c_1 e^{ikz}+c_2e^{-ikz}=c_1[\cos(kz)+i \sin (kz)]+c_2[\cos(-ikz)+i \sin (-ikz)]=$$
$$=(c_1+c_2)\cos(kz)+i(c_1-c_2) \sin(kz)$$
A questo punto poni $A:=c_1+c_2$ e $B:=i(c_1-c_2)$.
"Cla1608":
4) da qui in poi sono perso ...
Che metodi conosci per risolvere questa tipologia di equazioni differenziali? Se non ne conosci è dura aiutarti.
"Cla1608":
Chiaramente la richiesta successiva era questa, devo mettermi sotto a ripassare tutto quello che riguarda il calcolo differenziale (integrali, eq differenziali, e chi più ne ha più ne metta), avete qualche consiglio, dei testi o delle video lezioni che riescano in maniera semplice ad aiutarmi? Una linea guida di come affrontare le varie problematiche e in che ordine?
Vorrei evitare (nei limiti del possibile) tutte quelle trattazioni super rigorose che si trovano.
Domanda un po' troppo generica, che libro di testo ti consiglia il docente? Che corso di laurea stai frequentando?
"Mephlip":
[quote="Cla1608"] studio omogenea associata, trovo quindi $ lambda =+- 2ik $
In realtà le soluzioni del polinomio caratteristico sono $\lambda_{1,2}=\pm ik$, ma probabilmente è un errore di trascrizione qui sul forum perché poi nel punto (2) le hai messe correttamente agli esponenti degli esponenziali.
"Cla1608":
3) da qui dovrei sfruttare l'equazione di eulero per metterla in forma trigonometrica e dovrebbe venir fuori $v0= Acos(kz)+Bsen(kz)$
Mi fate vedere per favore come viene fuori questo passaggio??
Hai che $e^{i\theta}=\cos \theta +i \sin \theta$, dunque $e^{ikz}=\cos(kz)+i \sin (kz)$ e dunque
$$c_1 e^{ikz}+c_2e^{-ikz}=c_1[\cos(kz)+i \sin (kz)]+c_2[\cos(-ikz)+i \sin (-ikz)]=$$
$$=(c_1+c_2)\cos(kz)+i(c_1-c_2) \sin(kz)$$
A questo punto poni $A:=c_1+c_2$ e $B:=i(c_1-c_2)$.
"Cla1608":
4) da qui in poi sono perso ...
Che metodi conosci per risolvere questa tipologia di equazioni differenziali? Se non ne conosci è dura aiutarti.
"Cla1608":
Chiaramente la richiesta successiva era questa, devo mettermi sotto a ripassare tutto quello che riguarda il calcolo differenziale (integrali, eq differenziali, e chi più ne ha più ne metta), avete qualche consiglio, dei testi o delle video lezioni che riescano in maniera semplice ad aiutarmi? Una linea guida di come affrontare le varie problematiche e in che ordine?
Vorrei evitare (nei limiti del possibile) tutte quelle trattazioni super rigorose che si trovano.
Domanda un po' troppo generica, che libro di testo ti consiglia il docente? Che corso di laurea stai frequentando?[/quote]
Ciao, grazie si in effetti era un errore di scrittura ho corretto.
Per quanto riguarda l equazione di Eulero ho trovato in rete una soluzione a una [url]eq similare https://www.****.it/domande-a-rispos ... ziale.html[/url] in cui si diceva che le costanti A e B erano dei reali ... ma in questo caso c'è l'unità immaginaria ... quindi per questo non mi portava.
Metodi che conosco ad oggi ... nessuno
sto facendo da autodidatta. Sono 15 anni che non metto mano più su queste cose e ho rimosso tutto, spero che scavando scavando qualcosa venga fuori. Sto iniziando a ripassare da qualche settimana ma di riflesso per altre tematiche, e sul percorso mi trovo a dover affrontare alcune di queste problematiche ... e siccome sono uno cocciuto (in tutti i sensi
) ho desiderio nel capire cosa si sta facendo.Per il libri di testo, o materiale vario vorrei iniziare da cose semplici e ben spiegate tralasciando tutta la rigorosa (ma inevitabile per i più esperti) trattazione. Magari con tanti esempi di esercizi svolti.
Sono arrugginito di brutto, al tempo mi riusciva un pò ...
Prego!
Occhio che è diverso, le costanti reali sono le costanti arbitrarie che vengono fuori dallo scrivere la soluzione generale dell'omogenea come combinazione lineare degli esponenziali; in sostanza $c_1,c_2 \in \mathbb{R}$, ma $A$ e $B$ non hanno questo vincolo e quindi in generale possono anche essere costanti complesse.
Le costanti $A$ e $B$ a cui si riferisce dopo sono quelle del metodo di somiglianza, è un altro contesto; dalla tua richiesta si deduce che devi solo scrivere la soluzione in quella forma, senza vincoli sulle costanti $A$ e $B$.
In realtà volevo proprio suggerirti ****, per quello che ti serve dovrebbe essere l'ideale; comunque esistono anche libri meno rigorosi e più pratici, comunque un'infarinata di teoria è fondamentale.
Anzi, se vuoi "capire cosa si sta facendo" (per citarti) devi necessariamente studiare prima la teoria, altrimenti non avrai mai una conoscenza critica di quel che fai
Comunque per risolvere questo tipo di equazione differenziale vedi (anche su **** stesso) il metodo di somiglianza! Provaci, se hai problemi scrivi pure qui!
P.S.: se rispondi alla persona immediatamente sopra di te nel post magari evita di citare tutto o diventa tutto più lungo e pesante da vedere (se proprio devi citare qualcosa taglia le parti che non servono
)
"Cla1608":
in cui si diceva che le costanti A e B erano dei reali ... ma in questo caso c'è l'unità immaginaria ... quindi per questo non mi portava.
Occhio che è diverso, le costanti reali sono le costanti arbitrarie che vengono fuori dallo scrivere la soluzione generale dell'omogenea come combinazione lineare degli esponenziali; in sostanza $c_1,c_2 \in \mathbb{R}$, ma $A$ e $B$ non hanno questo vincolo e quindi in generale possono anche essere costanti complesse.
Le costanti $A$ e $B$ a cui si riferisce dopo sono quelle del metodo di somiglianza, è un altro contesto; dalla tua richiesta si deduce che devi solo scrivere la soluzione in quella forma, senza vincoli sulle costanti $A$ e $B$.
In realtà volevo proprio suggerirti ****, per quello che ti serve dovrebbe essere l'ideale; comunque esistono anche libri meno rigorosi e più pratici, comunque un'infarinata di teoria è fondamentale.
Anzi, se vuoi "capire cosa si sta facendo" (per citarti) devi necessariamente studiare prima la teoria, altrimenti non avrai mai una conoscenza critica di quel che fai
Comunque per risolvere questo tipo di equazione differenziale vedi (anche su **** stesso) il metodo di somiglianza! Provaci, se hai problemi scrivi pure qui!
P.S.: se rispondi alla persona immediatamente sopra di te nel post magari evita di citare tutto o diventa tutto più lungo e pesante da vedere (se proprio devi citare qualcosa taglia le parti che non servono
)
Si certo, eviterò di citare mezzo mondo nella fretta non lo avevo considerato un problema.
**** è molto ben fatto sicuramente, però vorrei capire una linea guida, per dire:
1) Derivate
1a) ...
1b) ...
2) Integrazione
2a) ...
2b) ...
3) Calcolo differenziale
3a) ...
3b) ...
Giusto una cronologia delle argomentazioni e qualche dritta su dove poterle reperire
nella fretta non lo avevo considerato un problema.**** è molto ben fatto sicuramente, però vorrei capire una linea guida, per dire:
1) Derivate
1a) ...
1b) ...
2) Integrazione
2a) ...
2b) ...
3) Calcolo differenziale
3a) ...
3b) ...
Giusto una cronologia delle argomentazioni e qualche dritta su dove poterle reperire
Hai provato le video lezioni di Bombardelli?
Qui la lista completa Verso la fine della lista trovi anche le lezioni su derivate, integrali ed equazioni differenziali.
Qui la lista completa Verso la fine della lista trovi anche le lezioni su derivate, integrali ed equazioni differenziali.
"@melia":
Hai provato le video lezioni di Bombardelli?
Qui la lista completa Verso la fine della lista trovi anche le lezioni su derivate, integrali ed equazioni differenziali.
Si ne ho viste alcune però faccio difficoltà a trovare un filo logico ... se parto dalle equazioni differenziali forse prima dovrei ripassare gli integrali e le tecniche di integrazione, quindi parto dalle lezioni su gli integrali?? E' così?? Lo chiedo perchè ho paura di trovarmi a guardare decine di video e non capirci niente. Poi gli esercizi dove li posso trovare?
Per carità ha fatto un gran lavoro il ragazzo non lo voglio assolutamente criticare
Tornando alla nostra equazione differenziale, dopo l omogenea associata mi sono perso ... ho letto un pò dappertutto ma perdonatemi faccio difficoltà.
Se non ho capito male dobbiamo studiare la soluzione particolare in questo caso (essendo il termine noto f) la soluzione particolare dovrebbe essere del tipo
$ vp=f $ (p dovrebbe essere un pedice non ho capito come nella formattazione farlo diventare un pedice)
Quindi la soluzione finale sarà data dalla somma della soluzione particolare e da quella dell'omogenea associata
Ciao Cla1608,
Sì, la soluzione dell'equazione differenziale del secondo ordine non omogenea proposta $v''(z) + k^2 v(z) = k^2 f $ è la seguente:
$v(z) = v_o(z) + v_p(z) = A cos(kz) + B sin(kz) + f $
"Cla1608":
Quindi la soluzione finale sarà data dalla somma della soluzione particolare e da quella dell'omogenea associata
Sì, la soluzione dell'equazione differenziale del secondo ordine non omogenea proposta $v''(z) + k^2 v(z) = k^2 f $ è la seguente:
$v(z) = v_o(z) + v_p(z) = A cos(kz) + B sin(kz) + f $
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