Equazione differenziale del secondo ordine non omogenea

[cortex96]

$ y''+2y'+2y=e^-xcosx+e^x $
Ho dei problemi nel risolvere questa equazione differenziale, sia usando Lagrange che il metodo di similitudine
Infatti, dopo aver trovato la soluzione dell'equazione omogena associata $ yO(x)=c1e^-xcosx+c2e^-xsinx $ , utilizzando lagrange risolvo il sistema associato e trovo $ phi1'=cos^2x+e^2xcosx; phi2'=-e^2xsinx+sinxcosx $
Anche per similitudine mi blocco, senz ariuscire ad arrivare alla soluzione. Qualche consiglio?

[seb1]

Io ho svolto così: sia \(f(x)=e^{-x}\cos{x}+e^x\implies f'''(x)+f''(x)-2f(x)=0\). Sia ora \(D\) l'operatore differenziale (lineare). Chiamo \(Q(D)=D^3+D^2-2\) e \(P(D)=D^2+2D+2\); bisogna allora risolvere \(Q(D)P(D)y=0\). Abbiamo \(D^3+D^2-2=D(D^2+D-2)+2(D-1)=(D-1)(D^2+2D+2)\) da cui \(Q(D)P(D)y=(D-1)(D+1+i)^2(D+1-i)^2y=0\) la cui soluzione è\[y(t)=c_1e^x+c_2e^{-x}\cos{x}+c_3e^{-x}\sin{x}+xe^{-x}(c_4\cos{x}+c_5\sin{x})\] con \(c_1\), \(c_2\), \(c_3\), \(c_4\), \(c_5\) costanti reali.
Non considerando per semplicità la parte che risolve l'omogenea e prendendo, cioè, solamente \(\tilde{y}=c_1e^x+xe^{-x}(c_4\cos{x}+c_5\sin{x})\), dopo noiosi calcoli (che spero di non aver sbagliato), inserendo in \(P(D)y=f(x)\) si ottiene\[P(D)\tilde{y}=\tilde{y}''+2\tilde{y}'+2\tilde{y}=5c_1e^x+2e^{-x}(c_5\cos{x}-c_4\sin{x})=e^{-x}\cos{x}+e^x\]
Va risolto il banale sistema
\begin{cases}
5c_1=1\\
c_4=0\\
2c_5=1
\end{cases}
e si conclude che \(y(x)=\frac{1}{5}e^x+\frac{1}{2}xe^{-x}\sin{x}+e^{-x}(k_1\cos{x}+k_2\sin{x}),\quad k_1,k_2\in\mathbb{R}\)