Equazione differenziale del secondo ordine (moto armonico con forzante)
Ciao a tutti ragazzi !
Ancora una volta eccomi a chiedere il vostro aiuto, questa volta su una differenziale di secondo ordine. Ecco l'esercizio, tratto da Analisi 1 del De Marco (nella mia edizione cap.20 pag.543). L'esercizio è il seguente:
20.7.5 OSCILLAZIONI FORZATE. Riprendiamo l'oscillatore armonico introdotto nell'esercizio 20.6; supponiamo però ora che oltre alla forza di richiamo di tipo elastico ci sia anche una forza esterna $f_e(t)$ applicata al punto materiale, che può variare col tempo t. L'equazione della dinamica diventa allora
da cui, dividendo per m, e posto $omega = sqrt(k/m), a_e(t)=f_e(t)/m$, si ottiene l'equazione
che è l'equazione dei moti armonici con termine forzante $a_e(t)$. Studiamo ora vari casi particolari.
Supponiamo dapprima $f_e(t) = $costante, e quindi $a_e(t) = a_e$ costante. In tal caso l'equazione non omogenea ha un integrale particolare costante: sostituendo c = costante in luogo di y si ottiene $omega^2c = a_e hArr c=a_e/(omega^2)$ e l'integrale generale dell'equazione data è (su R)
Ciò si può interpretare dicendo che l'effetto di una forza esterna costante è quello di spostare il centro di oscillazione di una quantità pari ad $a_e/omega^2 = f_e/(momega^2)$ nella direzione della forza stessa, lasciando invariate ampiezza $a$ e periodo $(2pi)/omega$ delle oscillazioni stesse.
Supponiamo ora $f_e(t) = F_e*cos(omega_et)$, dove $F_e,omega_e>0$ sono costanti; abbiamo cioè un termine forzante di tipo sinusoidale. Scritto $a_e = F_e/m$, dobbiamo trovare un integrale particolare dell'equazione
Scritto $cos(omega_et)=(e^(iomega_et)+e^(-iomega_et))/2$, se troviamo un integrale particolare $varphi$ dell'equazione
$(e)$
essendo $omega$ reale, il coniugato $bar(varphi)$ di tale integrale sarà l'integrale dell'equazione
ottenuta coniugando il secondo membro dell'equazione precedente; e $(varphi+bar(varphi))/2$ sarà allora integrale dell'equazione data. Cerchiamo quindi un integrale particolare di (e): [highlight]occorre distinguere il caso in cui $iomega_e$ è radice dell'equazione caratteristica dall'altro; chiaramente $iomega_e = ±iomega_e$ se solo se $omega_e = omega$ ($omega_e, omega >0$ per ipotesi). In tal caso, un integrale particolare di (e) è $varphi(t) = (a_e/(omega^2-omega_e^2))e^(iomega_et)$[/highlight]; il suo coniugato è pertanto...
Ecco, più o meno ho capito la spiegazione fino alla parte evidenziata. In particolare non capisco cosa voglia dire $iomega_e = ±iomega$ se solo se $omega_e = omega$. Perché c'è quel doppio segno ? Se $omega_e = omega$ non si ha che $iomega_e = iomega$ senza il doppio segno ? Semplificando la $i$ si ha $omega_e = omega$. Da dove viene fuori quel $+-$ ? Inoltre, se $omega_e = omega$ nella soluzione $varphi(t) = (a_e/(omega^2-omega_e^2))e^(iomega_et)$ si avrebbe un denominatore pari a 0. Davvero non riesco a capire.
Chiedo scusa se sono stato prolisso, ma non volevo omettere alcun passaggio per chiarirvi la situazione descritta e ringrazio sin da ora quanti sapranno darmi delucidazioni sui miei dubbi.
Saluti
Ancora una volta eccomi a chiedere il vostro aiuto, questa volta su una differenziale di secondo ordine. Ecco l'esercizio, tratto da Analisi 1 del De Marco (nella mia edizione cap.20 pag.543). L'esercizio è il seguente:
20.7.5 OSCILLAZIONI FORZATE. Riprendiamo l'oscillatore armonico introdotto nell'esercizio 20.6; supponiamo però ora che oltre alla forza di richiamo di tipo elastico ci sia anche una forza esterna $f_e(t)$ applicata al punto materiale, che può variare col tempo t. L'equazione della dinamica diventa allora
$my''= -ky + f_e(t)$
da cui, dividendo per m, e posto $omega = sqrt(k/m), a_e(t)=f_e(t)/m$, si ottiene l'equazione
$y''+omega^2y=a_e(t)$
che è l'equazione dei moti armonici con termine forzante $a_e(t)$. Studiamo ora vari casi particolari.
Supponiamo dapprima $f_e(t) = $costante, e quindi $a_e(t) = a_e$ costante. In tal caso l'equazione non omogenea ha un integrale particolare costante: sostituendo c = costante in luogo di y si ottiene $omega^2c = a_e hArr c=a_e/(omega^2)$ e l'integrale generale dell'equazione data è (su R)
$a*cos(omegat+phi)+a_e/omega^2, a>=0; phi in R mod 2pi$
Ciò si può interpretare dicendo che l'effetto di una forza esterna costante è quello di spostare il centro di oscillazione di una quantità pari ad $a_e/omega^2 = f_e/(momega^2)$ nella direzione della forza stessa, lasciando invariate ampiezza $a$ e periodo $(2pi)/omega$ delle oscillazioni stesse.
Supponiamo ora $f_e(t) = F_e*cos(omega_et)$, dove $F_e,omega_e>0$ sono costanti; abbiamo cioè un termine forzante di tipo sinusoidale. Scritto $a_e = F_e/m$, dobbiamo trovare un integrale particolare dell'equazione
$y''+omega^2y=a_ecos(omega_et)$
Scritto $cos(omega_et)=(e^(iomega_et)+e^(-iomega_et))/2$, se troviamo un integrale particolare $varphi$ dell'equazione
$(e)$
$y''+omega^2y=a_ee^(iomega_et)$
essendo $omega$ reale, il coniugato $bar(varphi)$ di tale integrale sarà l'integrale dell'equazione
$y''+omega^2y=a_ee^(-iomega_et)$
ottenuta coniugando il secondo membro dell'equazione precedente; e $(varphi+bar(varphi))/2$ sarà allora integrale dell'equazione data. Cerchiamo quindi un integrale particolare di (e): [highlight]occorre distinguere il caso in cui $iomega_e$ è radice dell'equazione caratteristica dall'altro; chiaramente $iomega_e = ±iomega_e$ se solo se $omega_e = omega$ ($omega_e, omega >0$ per ipotesi). In tal caso, un integrale particolare di (e) è $varphi(t) = (a_e/(omega^2-omega_e^2))e^(iomega_et)$[/highlight]; il suo coniugato è pertanto...
Ecco, più o meno ho capito la spiegazione fino alla parte evidenziata. In particolare non capisco cosa voglia dire $iomega_e = ±iomega$ se solo se $omega_e = omega$. Perché c'è quel doppio segno ? Se $omega_e = omega$ non si ha che $iomega_e = iomega$ senza il doppio segno ? Semplificando la $i$ si ha $omega_e = omega$. Da dove viene fuori quel $+-$ ? Inoltre, se $omega_e = omega$ nella soluzione $varphi(t) = (a_e/(omega^2-omega_e^2))e^(iomega_et)$ si avrebbe un denominatore pari a 0. Davvero non riesco a capire.
Chiedo scusa se sono stato prolisso, ma non volevo omettere alcun passaggio per chiarirvi la situazione descritta e ringrazio sin da ora quanti sapranno darmi delucidazioni sui miei dubbi.
Saluti
Risposte
Sarà un'errore tipografico.
Probabilmente l'uguaglianza corretta è $i omega_e = +- i omega$, poiché quello che si vuol analizzare è il caso in cui $i omega_e$ sia una soluzione dell'equazione caratteristica associata alla EDO, i.e. $lambda^2 + omega^2 = 0$, la quale ha soluzioni complesse coniugate $lambda=+- i omega$.
Probabilmente l'uguaglianza corretta è $i omega_e = +- i omega$, poiché quello che si vuol analizzare è il caso in cui $i omega_e$ sia una soluzione dell'equazione caratteristica associata alla EDO, i.e. $lambda^2 + omega^2 = 0$, la quale ha soluzioni complesse coniugate $lambda=+- i omega$.
Ciao gugo82 ! Innanzitutto grazie per la risposta, ma ho commesso un errore nello scrivere. Ho corretto il messaggio. L'uguaglianza che non mi torna è proprio quella che hai scritto tu, $iomega_e=+-iomega$ se e solo se $omega_e=omega$. Se, per ipotesi, $omega_e$ e $omega$ sono entrambi positivi, come può valere $iomega_e=+-iomega$ ? Se $omega_e=omega$ non si avrebbe $iomega_e=+iomega$ solo col segno + ? Che mi sfugga qualche banalità sui numeri complessi per cui compare il doppio segno 
? Inoltre, se $iomega_e=+-iomega$, nel passaggio successivo non si avrebbe un denominatore nullo ($φ(t)=a_e/(ω^2−ω_e^2)e^(iω_et)$) ?
Saluti
? Inoltre, se $iomega_e=+-iomega$, nel passaggio successivo non si avrebbe un denominatore nullo ($φ(t)=a_e/(ω^2−ω_e^2)e^(iω_et)$) ?Saluti
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo