Equazione differenziale del secondo ordine (Lagrange)
Salve a tutti. Sto trovando davvero molte difficoltà a risolvere questa equazione differenziale:
\( y'' - y = \sqrt{1+e^{x}} \)
Applicando il metodo di Lagrange, ottengo che la soluzione dell'equazione omogenea è:
\( y_{0}(x) = c_{1}e^{x} + c_{2}e^{-x} \)
e il determinante wronskiano è \( -2 \).
Facendo il sistema e tutti gli altri passaggi che qui vi risparmio (ma che credo proprio siano corretti), i due integrali da risolvere sono:
\( \gamma_{1}' = \frac{\sqrt{1+e^{x}}}{2e^{x}} \)
\( \gamma_{2}' = - \frac{e^{x}\sqrt{1+e^{x}}}{2} \)
Per quanto riguarda il secondo, lo riesco a calcolare abbastanza facilmente ottenendo:
\( \gamma_{2} = - \frac{(1+e^{x})\sqrt{1+e^{x}}}{3} \)
Ma per il primo...come fare? Mi sto complicando la vita ed esiste magari un metodo alternativo? Non è la prima volta che ottengo risultati del genere (una soluzione "facile" e una impossibile).
\( y'' - y = \sqrt{1+e^{x}} \)
Applicando il metodo di Lagrange, ottengo che la soluzione dell'equazione omogenea è:
\( y_{0}(x) = c_{1}e^{x} + c_{2}e^{-x} \)
e il determinante wronskiano è \( -2 \).
Facendo il sistema e tutti gli altri passaggi che qui vi risparmio (ma che credo proprio siano corretti), i due integrali da risolvere sono:
\( \gamma_{1}' = \frac{\sqrt{1+e^{x}}}{2e^{x}} \)
\( \gamma_{2}' = - \frac{e^{x}\sqrt{1+e^{x}}}{2} \)
Per quanto riguarda il secondo, lo riesco a calcolare abbastanza facilmente ottenendo:
\( \gamma_{2} = - \frac{(1+e^{x})\sqrt{1+e^{x}}}{3} \)
Ma per il primo...come fare? Mi sto complicando la vita ed esiste magari un metodo alternativo? Non è la prima volta che ottengo risultati del genere (una soluzione "facile" e una impossibile).
Risposte
Hai sbagliato a calcolare le soluzioni dell'omogenea.
Perché?
L'equazione caratteristica è:
\( \lambda^{2} - 1 = 0 \)
\(\Delta > 0 \), quindi \( \lambda = \pm 1 \).
\( y_{0} = c_{1}e^{\lambda_{1}x} + c_{2}e^{\lambda_{2}x} \)
\( y_{0} = c_{1}e^{x} + c_{2}e^{-x} \)
[AGGIUNTA]
Hai ragione, ma avevo sbagliato a scrivere la traccia. Ora la correggo.
L'equazione caratteristica è:
\( \lambda^{2} - 1 = 0 \)
\(\Delta > 0 \), quindi \( \lambda = \pm 1 \).
\( y_{0} = c_{1}e^{\lambda_{1}x} + c_{2}e^{\lambda_{2}x} \)
\( y_{0} = c_{1}e^{x} + c_{2}e^{-x} \)
[AGGIUNTA]
Hai ragione, ma avevo sbagliato a scrivere la traccia. Ora la correggo.
Ah, ecco...
Il problema sembra essere integrare:
\[
\int \frac{\sqrt{1+e^x}}{2e^x}\ \text{d} x\; .
\]
Ponendo \(t=\sqrt{1+e^x}\) ottieni \(e^x = t^2-1\) e \(\text{d} x = \frac{2t}{t^2-1}\ \text{d} t\), dunque:
\[
\int \frac{\sqrt{1+e^x}}{2e^x}\ \text{d} x = \int \frac{t^2}{(t^2-1)^2}\ \text{d} t
\]
con l'ultimo integrale razionale; dato che il denominatore si fattorizza come \((t-1)^2(t+1)^2\), la decomposizione in fratti da determinare è del tipo:
\[
\frac{A}{t-1} + \frac{B}{(t-1)^2} + \frac{C}{t+1} + \frac{D}{(t+1)^2}
\]
e questo ti consente di integrare per decomposizione in somma con un paio di logaritmi ed una potenza inversa.
Non è poi così difficile, no?
Il problema sembra essere integrare:
\[
\int \frac{\sqrt{1+e^x}}{2e^x}\ \text{d} x\; .
\]
Ponendo \(t=\sqrt{1+e^x}\) ottieni \(e^x = t^2-1\) e \(\text{d} x = \frac{2t}{t^2-1}\ \text{d} t\), dunque:
\[
\int \frac{\sqrt{1+e^x}}{2e^x}\ \text{d} x = \int \frac{t^2}{(t^2-1)^2}\ \text{d} t
\]
con l'ultimo integrale razionale; dato che il denominatore si fattorizza come \((t-1)^2(t+1)^2\), la decomposizione in fratti da determinare è del tipo:
\[
\frac{A}{t-1} + \frac{B}{(t-1)^2} + \frac{C}{t+1} + \frac{D}{(t+1)^2}
\]
e questo ti consente di integrare per decomposizione in somma con un paio di logaritmi ed una potenza inversa.
Non è poi così difficile, no?
Sì, hai ragione, ti ringrazio molto per la risposta. Avevo sbagliato a calcolare i parametri quando fattorizzavo. Per completezza (nel caso possa servire a qualcun altro), dopo aver svolto tutti i calcoli, ottengo:
\( A = \frac{1}{4} \)
\( B = \frac{1}{4} \)
\( C = -\frac{1}{4} \)
\( D = \frac{1}{4} \)
Svolgendo gli integrali, la soluzione finale dovrebbe essere:
\( y_{0}(x) = c_{1}e^{x} + c_{2}e^{-x} + \frac{1}{4}\left[\ln{\left(\sqrt{1+e^{x}}-1\right)} - \frac{1}{\sqrt{1+e^{x}}-1} - \ln{\left(\sqrt{1+e^{x}}+1\right)} - \frac{1}{\sqrt{1+e^{x}}+1}\right] - \frac{(1+e^{x})\sqrt{1+e^{x}}}{3} \)
E mettendo un po' in ordine:
\( y_{0}(x) = c_{1}e^{x} + c_{2}e^{-x} + \frac{1}{4}\left[- \frac{2\sqrt{e^{x}+1}}{e^{x}} + \ln{\left(1 - \frac{2}{\sqrt{e^{x}+1}+1}\right)}\right] - \frac{(1+e^{x})\sqrt{1+e^{x}}}{3} \)
Spero di aver fatto tutto bene, grazie ancora per l'aiuto!
\( A = \frac{1}{4} \)
\( B = \frac{1}{4} \)
\( C = -\frac{1}{4} \)
\( D = \frac{1}{4} \)
Svolgendo gli integrali, la soluzione finale dovrebbe essere:
\( y_{0}(x) = c_{1}e^{x} + c_{2}e^{-x} + \frac{1}{4}\left[\ln{\left(\sqrt{1+e^{x}}-1\right)} - \frac{1}{\sqrt{1+e^{x}}-1} - \ln{\left(\sqrt{1+e^{x}}+1\right)} - \frac{1}{\sqrt{1+e^{x}}+1}\right] - \frac{(1+e^{x})\sqrt{1+e^{x}}}{3} \)
E mettendo un po' in ordine:
\( y_{0}(x) = c_{1}e^{x} + c_{2}e^{-x} + \frac{1}{4}\left[- \frac{2\sqrt{e^{x}+1}}{e^{x}} + \ln{\left(1 - \frac{2}{\sqrt{e^{x}+1}+1}\right)}\right] - \frac{(1+e^{x})\sqrt{1+e^{x}}}{3} \)
Spero di aver fatto tutto bene, grazie ancora per l'aiuto!
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