Equazione differenziale del secondo ordine con parametro
Salve a tutti!
Ho delle difficoltà con il seguente esercizio:
$AA k in NN$ calcolare esplicitamente la soluzione $y_k (t): RR -> RR$ del problema di Cauchy:
$\{(ddot y+2k dot y+y=cos(t)),(y(0)=0),(dot y(0)=0):}$
Prima trovo l'integrale generale della omogenea associata:
$\lambda^2+2k\lambda+1=0$ da cui $\lambda=-k+-sqrt(k^2-1)$ Quindi ci sono 3 possibilità:
1) $k=0 -> k^2-1<0 -> \lambda=+-i ->y_o=c_1cos(t)+c_2sin(t)$
2) $k=1 -> k^2-1=0 -> \lambda=-1 ->y_o=c_1e^-t+c_2te^-t$
3) $k>1 -> k^2-1>0 -> \lambda=-1 ->y_o=c_1e^((-k+sqrt(k^2-1))t)+c_2e^((-k-sqrt(k^2-1))t)$
Poi cercato una soluzione particolare del tipo: $Acos(t)+Bsin(t)$. Derivando e sostituendo nell'equazione ottengo:
$cos(t)(2kB)+sin(t)(-2kA)= cos(t) hArr A=0, B=1/(2k)$ quindi avrei $y_p =1/(2k) sin(t)$ che ovviamente non è definita per $k=0$. (immagino che in questo caso dovrei ricalcolarmi la soluzione particolare di $ddot y+y=cos(t)$)
Ora non so più come andare avanti. Come faccio a stabilire qual è la soluzione $y_k(t)$ del P.D.C.?
Ho delle difficoltà con il seguente esercizio:
$AA k in NN$ calcolare esplicitamente la soluzione $y_k (t): RR -> RR$ del problema di Cauchy:
$\{(ddot y+2k dot y+y=cos(t)),(y(0)=0),(dot y(0)=0):}$
Prima trovo l'integrale generale della omogenea associata:
$\lambda^2+2k\lambda+1=0$ da cui $\lambda=-k+-sqrt(k^2-1)$ Quindi ci sono 3 possibilità:
1) $k=0 -> k^2-1<0 -> \lambda=+-i ->y_o=c_1cos(t)+c_2sin(t)$
2) $k=1 -> k^2-1=0 -> \lambda=-1 ->y_o=c_1e^-t+c_2te^-t$
3) $k>1 -> k^2-1>0 -> \lambda=-1 ->y_o=c_1e^((-k+sqrt(k^2-1))t)+c_2e^((-k-sqrt(k^2-1))t)$
Poi cercato una soluzione particolare del tipo: $Acos(t)+Bsin(t)$. Derivando e sostituendo nell'equazione ottengo:
$cos(t)(2kB)+sin(t)(-2kA)= cos(t) hArr A=0, B=1/(2k)$ quindi avrei $y_p =1/(2k) sin(t)$ che ovviamente non è definita per $k=0$. (immagino che in questo caso dovrei ricalcolarmi la soluzione particolare di $ddot y+y=cos(t)$)
Ora non so più come andare avanti. Come faccio a stabilire qual è la soluzione $y_k(t)$ del P.D.C.?
Risposte
i tre casi che hai considerato non esauriscono tutti i possibili valori del parametro. devi controllare invece quando il radicando è positivo.
hai infatti che per $k <= -1 vv k >=1$ le radici sono reali mentre per $k in (-1,1)$ sono complesse.
per $k=0$ anche io risolverei studiando l'equazione che hai indicato.
ora continui come in qualunque PdC: imponi le condizioni sulla derivata prima e sulla y e vedi di trovare le costanti $c_1$ e $c_2$.
hai infatti che per $k <= -1 vv k >=1$ le radici sono reali mentre per $k in (-1,1)$ sono complesse.
per $k=0$ anche io risolverei studiando l'equazione che hai indicato.
"Sling":
Ora non so più come andare avanti. Come faccio a stabilire qual è la soluzione yk(t) del P.D.C.?
ora continui come in qualunque PdC: imponi le condizioni sulla derivata prima e sulla y e vedi di trovare le costanti $c_1$ e $c_2$.
Grazie per la risposta!
I casi $k<-1$ e $ k=-1$ (o in generale $k<0$), non li ho considerati semplicemente perché il testo richiede che $k in NN$ quindi sarà per definizione non negativo.
Il mio dubbio è se devo considerare e risolvere separatamente il P.D.C. (imponendo le condizioni sulle derivate e ricavare le costanti come hai detto tu) per i tre casi che ho indicato sopra ottenendo quindi tre soluzioni diverse al variare di $k$, oppure se esiste un unica soluzione che le comprenda tutte.
Questo dubbio è alimentato dal fatto che il secondo punto dell'esercizio richiede di determinare il limite puntuale e la convergenza uniforme di $(y_k(t))_(k in NN)$ sull'intervallo $[0,+infty)$ e questo mi fa pensare che la soluzione dovrebbe essere unica (al variare di $k$).
I casi $k<-1$ e $ k=-1$ (o in generale $k<0$), non li ho considerati semplicemente perché il testo richiede che $k in NN$ quindi sarà per definizione non negativo.
Il mio dubbio è se devo considerare e risolvere separatamente il P.D.C. (imponendo le condizioni sulle derivate e ricavare le costanti come hai detto tu) per i tre casi che ho indicato sopra ottenendo quindi tre soluzioni diverse al variare di $k$, oppure se esiste un unica soluzione che le comprenda tutte.
Questo dubbio è alimentato dal fatto che il secondo punto dell'esercizio richiede di determinare il limite puntuale e la convergenza uniforme di $(y_k(t))_(k in NN)$ sull'intervallo $[0,+infty)$ e questo mi fa pensare che la soluzione dovrebbe essere unica (al variare di $k$).
scusami non ho letto con la dovuta attenzione e la condizione su k me la sono totalmente dimenticata. dato che $k in NN$ allora può anche essere (per le mie convenzioni lo è) $NN$ non contiene lo zero. altrimenti fai come già detto (io farei così).
dal controllo di prima ($k >= 1$ che si traduce in $k in NN$ di fatto) l'unica soluzione è quella reale. il caso $k=1$ non devi studiarlo separatamente perchè è già compreso nella soluzione con k generico.
dal controllo di prima ($k >= 1$ che si traduce in $k in NN$ di fatto) l'unica soluzione è quella reale. il caso $k=1$ non devi studiarlo separatamente perchè è già compreso nella soluzione con k generico.
In effetti mi ero domandato se comprendere o no lo $0$ in $NN$.
È quello che mi domandavo ma se metto $k=1$ nell'integrale generale trovato per $k>1$ avrei $y_o=c_1e^-t+c_2e^-t$ che è diverso dal caso specifico per $k=1$ dove $y_o=c_1e^-t+c_2te^-t$ giusto?
Infatti nel caso $y_o=c_1e^-t+c_2e^-t$, $c_1e^-t$ e $c_2e^-t$ sono ovviamente linearmente dipendenti e quindi non possono formare una base dello spazio vettoriale delle soluzioni dell'omogenea associata.
il caso k=1 non devi studiarlo separatamente perchè è già compreso nella soluzione con k generico.
È quello che mi domandavo ma se metto $k=1$ nell'integrale generale trovato per $k>1$ avrei $y_o=c_1e^-t+c_2e^-t$ che è diverso dal caso specifico per $k=1$ dove $y_o=c_1e^-t+c_2te^-t$ giusto?
Infatti nel caso $y_o=c_1e^-t+c_2e^-t$, $c_1e^-t$ e $c_2e^-t$ sono ovviamente linearmente dipendenti e quindi non possono formare una base dello spazio vettoriale delle soluzioni dell'omogenea associata.
Ciao Sling,
Ora ho poco tempo, per cui ti rispondo solo alla domanda in spoiler. Poi stasera se riesco ti rispondo anche in merito all'equazione differenziale proposta.
Esiste una norma che è uno standard internazionale, la ISO 80000-2:2009 intitolata Math signs and symbols to be used in the natural sciences and technology secondo la quale:
$\NN := \{0, 1, 2, 3, ...\} $
$\NN^{**} = \NN_{> 0} := \{1, 2, 3, ...\} $
Il fatto è che non tutti si adeguano allo standard internazionale, per cui alla fine tutto si riduce alla seguente domanda:
il tuo testo e/o il tuo professore cosa intendono per $\NN $ ?
Ora ho poco tempo, per cui ti rispondo solo alla domanda in spoiler. Poi stasera se riesco ti rispondo anche in merito all'equazione differenziale proposta.
Esiste una norma che è uno standard internazionale, la ISO 80000-2:2009 intitolata Math signs and symbols to be used in the natural sciences and technology secondo la quale:
$\NN := \{0, 1, 2, 3, ...\} $
$\NN^{**} = \NN_{> 0} := \{1, 2, 3, ...\} $
Il fatto è che non tutti si adeguano allo standard internazionale, per cui alla fine tutto si riduce alla seguente domanda:
il tuo testo e/o il tuo professore cosa intendono per $\NN $ ?
Intanto grazie per il chiarimento!
Ho già visto gli standard ISO in altri ambiti ma confesso che non mi sarei mai aspettato uno standard che definisse addirittura gli insiemi numerici, o comunque qualunque argomento matematico generale!
Alla luce di ciò mi chiedo perché tutti i professori (e professionisti del settore in generale) non si adeguino a questo standard evitando così ambiguità e fraintendimenti.
Il testo dell'esercizio (è tratto da un vecchio esame di analisi II) purtroppo non specifica se intenda l'insieme dei numeri naturali comprensivo dello zero o meno.
Ho già visto gli standard ISO in altri ambiti ma confesso che non mi sarei mai aspettato uno standard che definisse addirittura gli insiemi numerici, o comunque qualunque argomento matematico generale!
Alla luce di ciò mi chiedo perché tutti i professori (e professionisti del settore in generale) non si adeguino a questo standard evitando così ambiguità e fraintendimenti.
Il testo dell'esercizio (è tratto da un vecchio esame di analisi II) purtroppo non specifica se intenda l'insieme dei numeri naturali comprensivo dello zero o meno.
"Sling":
È quello che mi domandavo ma se metto k=1 nell'integrale generale trovato per k>1 avrei $yo=c1e−t+c2e−t $che è diverso dal caso specifico per k=1 dove $ yo=c1e−t+c2te−t$ giusto?
Infatti nel caso $yo=c1e−t+c2e−t, c1e−t e c2e−t$ sono ovviamente linearmente dipendenti e quindi non possono formare una base dello spazio vettoriale delle soluzioni dell'omogenea associata.
ovviamente hai ragione. non avevo pensato che la radice eliminandosi produce una doppia molteplicità al -1. non vorrei dire ancora una sciocchezza ma io a questo punto dividerei le soluzione perchè non saprei come mettere d'accordo le due diverse soluzioni dell'omogenea.
Dunque ho provato a fare due conti velocemente:
Nel caso [size=150]$k=1$[/size] abbiamo:
$y = c_1 e^-t+c_2 t e^-t+1/2 sin(t)$, e $dot y = -c_1 e^t+c_2 e^-t(1-t) +1/2 cos(t)$
imponendo le condizioni iniziali ottengo.
$\{(c_1=0),(c_2=-1/2):}$ quindi: $y=1/2(sin(t)-te^(-t))$
Nel caso [size=150]$k>1$[/size] viene invece un bel porcaio (come era prevedibile):
$y=c_1e^((-k+sqrt(k^2-1))t)+c_2e^((-k-sqrt(k^2-1))t)+1/(2k) sin(t) $
$dot y=c_1(-k+sqrt(k^2-1))e^((-k+sqrt(k^2-1))t)+c_2(-k-sqrt(k^2-1))e^((-k-sqrt(k^2-1))t)+1/(2k) cos(t)$
Sempre imponendo le condizioni iniziali ottengo:
$\{(c_1=-1/(4k sqrt(k^2-1))),(c_2=1/(4k sqrt(k^2-1))):}$
$y=-(e^((-k+sqrt(k^2-1))t))/(4k sqrt(k^2-1))+(e^((-k-sqrt(k^2-1))t))/(4ksqrt(k^2-1))+1/(2k) sin(t) $
Tra l'altro (se non ho fatto errori) questa soluzione non è definita per $k=1$ (confesso di aver sperato fino all'ultimo che alla fine della fiera le due soluzioni coincidessero
)
Nel caso [size=150]$k=1$[/size] abbiamo:
$y = c_1 e^-t+c_2 t e^-t+1/2 sin(t)$, e $dot y = -c_1 e^t+c_2 e^-t(1-t) +1/2 cos(t)$
imponendo le condizioni iniziali ottengo.
$\{(c_1=0),(c_2=-1/2):}$ quindi: $y=1/2(sin(t)-te^(-t))$
Nel caso [size=150]$k>1$[/size] viene invece un bel porcaio (come era prevedibile):
$y=c_1e^((-k+sqrt(k^2-1))t)+c_2e^((-k-sqrt(k^2-1))t)+1/(2k) sin(t) $
$dot y=c_1(-k+sqrt(k^2-1))e^((-k+sqrt(k^2-1))t)+c_2(-k-sqrt(k^2-1))e^((-k-sqrt(k^2-1))t)+1/(2k) cos(t)$
Sempre imponendo le condizioni iniziali ottengo:
$\{(c_1=-1/(4k sqrt(k^2-1))),(c_2=1/(4k sqrt(k^2-1))):}$
$y=-(e^((-k+sqrt(k^2-1))t))/(4k sqrt(k^2-1))+(e^((-k-sqrt(k^2-1))t))/(4ksqrt(k^2-1))+1/(2k) sin(t) $
Tra l'altro (se non ho fatto errori) questa soluzione non è definita per $k=1$ (confesso di aver sperato fino all'ultimo che alla fine della fiera le due soluzioni coincidessero
)
manca la soluzione con k=1 ma i coefficienti sono giusti mi sembra e quindi si tratta proprio solo di scriverla.
che per k=1 non sia definita la seconda non è un problema perchè tanto hai assunto $k >1$ (strettamente) e dunque 1 non è contemplato.
che per k=1 non sia definita la seconda non è un problema perchè tanto hai assunto $k >1$ (strettamente) e dunque 1 non è contemplato.
Avevo cancellato la soluzione per sbaglio! L'ho aggiunta.
In effetti...
Ma quindi come mi dovrei comportare con il secondo punto dell'esercizio?
Devo calcolare la convergenza di entrambe?
che per $k=1$ non sia definita la seconda non è un problema perchè tanto hai assunto $k>1$ (strettamente) e dunque 1 non è contemplato.
In effetti...
Ma quindi come mi dovrei comportare con il secondo punto dell'esercizio?
Devo calcolare la convergenza di entrambe?
dato che la prima non dipende da k magari vogliono che la calcoli solo della seconda. però non saprei. è anche vero che se calcoli la convergenza uniforme per la prima, che non dipende da k ($y_1$ è anche il limite puntuale), avresti 0. di fatto $y_1$ non è una successione di funzioni.
Effettivamente essendo che la prima non è una successione di funzioni, non mi pare strano che converga uniformemente a se stessa...
Adesso provo a vedere se riesco a studiare la convergenza di $y_k(t)$ (che fa proprio schifo ad essere onesti).
Adesso provo a vedere se riesco a studiare la convergenza di $y_k(t)$ (che fa proprio schifo ad essere onesti).
"Sling":
Alla luce di ciò mi chiedo perché tutti i professori (e professionisti del settore in generale) non si adeguino a questo standard evitando così ambiguità e fraintendimenti.
Eh, bella domanda... Il fatto è che i matematici generalmente sono dei tipi un po' eclettici (basti pensare a Grigorij Jakovlevič Perel'man, medaglia Field nel 2006 - rifiutata - per aver dimostrato nel 2002 la congettura di Poincaré) che non sempre accettano di buon grado di adeguarsi agli standard, anche se internazionali... D'altronde anch'io, che non sono un matematico, adotto nei miei scritti simboli non standard, tipo
$\CC_{-0} := \CC - \{0\} $
che però mi preoccupo sempre di definire preventivamente, in modo da evitare fraintendimenti.
Tornando all'equazione differenziale proposta, si può anche supporre che $\NN $ sia quello dello standard, tanto non è che cambia molto, anche se, trattandosi di
"Sling":
... un vecchio esame di analisi II)
è probabile che all'epoca si intendesse $\NN = \{1, 2, 3,...\} $. Comunque, riprendendo dal caso 1) di quelli che hai scritto nell'OP, per $k = 0 $ l'equazione differenziale diventa $y'' + y = cos(t) $. La soluzione dell'omogenea associata l'hai già scritta correttamente, per cui, osservando che una soluzione particolare è $y_p(t) = frac{t}{2} sin(t) $, si ha:
$y(t) = y_o(t) + y_p(t) = c_1 cos(t) + c_2 sin(t) + frac{t}{2} sin(t) $
Imponendo le condizioni del problema di Cauchy, si trova:
$0 = y(0) = c_1 cos(0) + c_2 sin(0) + frac{0}{2} sin(0) \implies c_1 = 0$
$0 = y'(0) = -c_1 sin(0) + c_2 cos(0) + frac{1}{2} sin(0) + frac{0}{2} cos(0) \implies c_2 = 0 $
I casi 2) e 3) li hai già risolti, per cui non mi soffermo. In definitiva la soluzione del problema di Cauchy proposto è la seguente:
$y_k(t) = {(frac{t}{2} sin(t) \text{ per } k = 0),(1/2(sin(t)-te^(-t)) \text{ per } k = 1),(-(e^((-k+sqrt(k^2-1))t))/(4k sqrt(k^2-1))+(e^((-k-sqrt(k^2-1))t))/(4ksqrt(k^2-1))+1/(2k) sin(t) \text{ per } k > 1):} $
Allora, il secondo punto chiede di studiare la convergenza puntuale e uniforme su $[0,+infty)$ di $y_k(t)$ (ammesso di aver fatto bene i punti precedenti).
1) il limite puntuale è: $lim_(k->infty)(e^((-k-sqrt(k^2-1))t))/(4k sqrt(k^2-1))-(e^((-k+sqrt(k^2-1))t))/(4ksqrt(k^2-1))+1/(2k) sin(t)=\{(0 if t>=0),(+infty if t<0):}$
visto che $-k+-sqrt(k^2-1)<0 AA k>1$ che è proprio il caso che stiamo considerando.
Quindi $y_k(t)$ converge puntualmente solo nell'intervallo $[0,+infty)$ che coincide con quello richiesto dal testo dell'esercizio.
2) Per la convergenza uniforme dovrei calcolare:
$"sup"_{t in [0,+infty)} |(e^((-k-sqrt(k^2-1))t))/(4k sqrt(k^2-1))-(e^((-k+sqrt(k^2-1))t))/(4ksqrt(k^2-1))+sin(t)/(2k) |$
che non so francamente come fare.
Per quel che riguarda il modulo, facendo qualche prova su Wolfram sembra che la funzione sia sempre positiva ma non saprei come dimostrarlo formalmente.
Per il $"sup"$ invece, la funzione sembrerebbe definitivamente decrescente quindi mi verrebbe da supporre che abbia un massimo in $t=0$ e in tal caso calcolando il limite, la funzione convergerebbe uniformemente su $[0, +infty)$.
Il problema è dimostrarlo...
P.S.: Grazie pilloeffe! Forse sono stato ambiguo quando ho scritto "vecchio esame". in realtà e dell'anno scorso
1) il limite puntuale è: $lim_(k->infty)(e^((-k-sqrt(k^2-1))t))/(4k sqrt(k^2-1))-(e^((-k+sqrt(k^2-1))t))/(4ksqrt(k^2-1))+1/(2k) sin(t)=\{(0 if t>=0),(+infty if t<0):}$
visto che $-k+-sqrt(k^2-1)<0 AA k>1$ che è proprio il caso che stiamo considerando.
Quindi $y_k(t)$ converge puntualmente solo nell'intervallo $[0,+infty)$ che coincide con quello richiesto dal testo dell'esercizio.
2) Per la convergenza uniforme dovrei calcolare:
$"sup"_{t in [0,+infty)} |(e^((-k-sqrt(k^2-1))t))/(4k sqrt(k^2-1))-(e^((-k+sqrt(k^2-1))t))/(4ksqrt(k^2-1))+sin(t)/(2k) |$
che non so francamente come fare.
Per quel che riguarda il modulo, facendo qualche prova su Wolfram sembra che la funzione sia sempre positiva ma non saprei come dimostrarlo formalmente.
Per il $"sup"$ invece, la funzione sembrerebbe definitivamente decrescente quindi mi verrebbe da supporre che abbia un massimo in $t=0$ e in tal caso calcolando il limite, la funzione convergerebbe uniformemente su $[0, +infty)$.
Il problema è dimostrarlo...
P.S.: Grazie pilloeffe! Forse sono stato ambiguo quando ho scritto "vecchio esame". in realtà e dell'anno scorso
io farei così anche se non so se sia corretto....
come hai notato anche tu abbiamo che $-k +- sqrt(k^2-1) < 0$ e dunque credo valga la seguente catena di disuguaglianze:
e quindi concluderei per il teorema dei due carabinieri.
come hai notato anche tu abbiamo che $-k +- sqrt(k^2-1) < 0$ e dunque credo valga la seguente catena di disuguaglianze:
$ 0 <= |(e^((-k-sqrt(k^2-1))t))/(4k sqrt(k^2-1))-(e^((-k+sqrt(k^2-1))t))/(4ksqrt(k^2-1))+sin(t)/(2k)| <= e^((-k-sqrt(k^2-1))t)/(4k sqrt(k^2-1)) - e^((-k+sqrt(k^2-1))t)/(4k sqrt(k^2-1)) + |sint|/(2k) <= 1/(4k sqrt(k^2-1))-1/(4k sqrt(k^2-1))+1/(2k)=1/(2k)$
e quindi concluderei per il teorema dei due carabinieri.
Perdonami ma sono un po' lento ad afferrare i concetti. Non riesco a capire se il metodo che hai usato è equivalente a fare il limite del $"sup"$ del modulo di $y_k(t)$. Non riesco a capire se tu abbia solo dimostrato che il limite del modulo di $y_k(t)$ sia 0 oppure se, quando hai minorato l'esponenziale con l'uno,
$e^((-k+-sqrt(k^2-1))t)/(4k sqrt(k^2-1)) <= 1/(4k sqrt(k^2-1))$
hai implicitamente dimostrato che la successione di funzioni ha un max per t=0 (quindi calcolato anche il $"sup"$ del modulo di $y_k(t)$).
Ho anche qualche dubbio sulla seconda disuguaglianza che hai scritto, ossia:
Presumo tu abbia sfruttato la disuguaglianza triangolare. Quindi in teoria dovrebbe essere:
$ 0 <= |(e^((-k-sqrt(k^2-1))t))/(4k sqrt(k^2-1))-(e^((-k+sqrt(k^2-1))t))/(4ksqrt(k^2-1))+sin(t)/(2k)| <= |e^((-k-sqrt(k^2-1))t)/(4k sqrt(k^2-1))| +|- e^((-k+sqrt(k^2-1))t)/(4k sqrt(k^2-1))| + |sin(t)/(2k)| =$
$= e^((-k-sqrt(k^2-1))t)/(4k sqrt(k^2-1)) + e^((-k+sqrt(k^2-1))t)/(4k sqrt(k^2-1)) + |sint|/(2k)$
Alla fine non cambia molto; dovrebbe infatti risultare:
$ 0 <= |(e^((-k-sqrt(k^2-1))t))/(4k sqrt(k^2-1))-(e^((-k+sqrt(k^2-1))t))/(4ksqrt(k^2-1))+sin(t)/(2k)| <= 1/(4k sqrt(k^2-1))+1/(4k sqrt(k^2-1))+1/(2k) $
che va comunque a $0$ quando $k->infty$.
$e^((-k+-sqrt(k^2-1))t)/(4k sqrt(k^2-1)) <= 1/(4k sqrt(k^2-1))$
hai implicitamente dimostrato che la successione di funzioni ha un max per t=0 (quindi calcolato anche il $"sup"$ del modulo di $y_k(t)$).
Ho anche qualche dubbio sulla seconda disuguaglianza che hai scritto, ossia:
$ 0 <= |(e^((-k-sqrt(k^2-1))t))/(4k sqrt(k^2-1))-(e^((-k+sqrt(k^2-1))t))/(4ksqrt(k^2-1))+sin(t)/(2k)| <= e^((-k-sqrt(k^2-1))t)/(4k sqrt(k^2-1)) - e^((-k+sqrt(k^2-1))t)/(4k sqrt(k^2-1)) + |sint|/(2k) $
Presumo tu abbia sfruttato la disuguaglianza triangolare. Quindi in teoria dovrebbe essere:
$ 0 <= |(e^((-k-sqrt(k^2-1))t))/(4k sqrt(k^2-1))-(e^((-k+sqrt(k^2-1))t))/(4ksqrt(k^2-1))+sin(t)/(2k)| <= |e^((-k-sqrt(k^2-1))t)/(4k sqrt(k^2-1))| +|- e^((-k+sqrt(k^2-1))t)/(4k sqrt(k^2-1))| + |sin(t)/(2k)| =$
$= e^((-k-sqrt(k^2-1))t)/(4k sqrt(k^2-1)) + e^((-k+sqrt(k^2-1))t)/(4k sqrt(k^2-1)) + |sint|/(2k)$
Alla fine non cambia molto; dovrebbe infatti risultare:
$ 0 <= |(e^((-k-sqrt(k^2-1))t))/(4k sqrt(k^2-1))-(e^((-k+sqrt(k^2-1))t))/(4ksqrt(k^2-1))+sin(t)/(2k)| <= 1/(4k sqrt(k^2-1))+1/(4k sqrt(k^2-1))+1/(2k) $
che va comunque a $0$ quando $k->infty$.
per la maggiorazione dell'esponenziale ho ragionato così: dato che $e^(-t)$ è decrescente certamente è vero che per $t >= 0$ vale $e^(-t)<= e^(-0)=1$
mi sono sì sbagliato doveva essere, scusami ma come dici tu cambia poco alla sostanza.
sono stato forse un poco infelice con la scrittura, sarebbe meglio
$0<=\text{sup}_(t in [0,+oo)) |...|<=2/(4ksqrt(k^2-1))+1/(2k) $
ed applicando il teorema dei due carabinieri concluderei.
"Sling":
Ho anche qualche dubbio sulla seconda disuguaglianza che hai scritto
mi sono sì sbagliato doveva essere, scusami ma come dici tu cambia poco alla sostanza.
"Sling":
Perdonami ma sono un po' lento ad afferrare i concetti. Non riesco a capire se il metodo che hai usato è equivalente a fare il limite del sup del modulo di yk(t). Non riesco a capire se tu abbia solo dimostrato che il limite del modulo di yk(t) sia 0 oppure se
sono stato forse un poco infelice con la scrittura, sarebbe meglio
$0<=\text{sup}_(t in [0,+oo)) |...|<=2/(4ksqrt(k^2-1))+1/(2k) $
ed applicando il teorema dei due carabinieri concluderei.
Perfetto. Grazie mille!
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