Equazione differenziale del secondo ordine
Salve a tutti, preparandomi per l'esame di Analisi II a settembre mi sono imbattuto in questo esercizio:
$ ( ( xy''-3xy'+3y=3x^2-2x+3 ),( y(0)=1, y'(0)=-1 ) ) $
La prima equazione se non sbaglio dovrebbe essere del secondo ordine a coefficienti variabili. Premetto che una eq.diff. di questo tipo nn l'avevo ancora incontrata, però avevo in mente di ricondurla a una di eulero ma visto che ci sono $ xy'' $ e $ xy' $ non saprei proprio come partire, un altra idea che mi è venuta è anche quella di dividere i 2 membri per x ma poi l'equazione che otterrei non mi porterebbe da nessuna parte.
Grazie in anticipo per gli aiuti
$ ( ( xy''-3xy'+3y=3x^2-2x+3 ),( y(0)=1, y'(0)=-1 ) ) $
La prima equazione se non sbaglio dovrebbe essere del secondo ordine a coefficienti variabili. Premetto che una eq.diff. di questo tipo nn l'avevo ancora incontrata, però avevo in mente di ricondurla a una di eulero ma visto che ci sono $ xy'' $ e $ xy' $ non saprei proprio come partire, un altra idea che mi è venuta è anche quella di dividere i 2 membri per x ma poi l'equazione che otterrei non mi porterebbe da nessuna parte.
Grazie in anticipo per gli aiuti
Risposte
Io proverei a sfruttare il fatto che un'equazione differenziale di ordine $k$ è riconducibile ad un sistema di $k$ equazioni del primo ordine... E' l'unica cosa che mi viene in mente :S
Cerchiamo una soluzione del tipo \( y=ax^2+bx+c\), abbiamo:
\( y'=2ax+b\)
\( y''=2a\)
Sostituendo nell'equazione differenziale otteniamo:
\( -3ax^2+2ax+3c=3x^2-2x+3\)
da cui:
\( a=-1,c=1\)
quindi:
\( y=-x^2+bx+1\)
la condizione \( y(0)=1\) è soddisfatta, \( y'(0)=-1\) è soddisfatta per \( b=-1\)
Quindi la soluzione è:
\( y=-x^2-x+1\)
\( y'=2ax+b\)
\( y''=2a\)
Sostituendo nell'equazione differenziale otteniamo:
\( -3ax^2+2ax+3c=3x^2-2x+3\)
da cui:
\( a=-1,c=1\)
quindi:
\( y=-x^2+bx+1\)
la condizione \( y(0)=1\) è soddisfatta, \( y'(0)=-1\) è soddisfatta per \( b=-1\)
Quindi la soluzione è:
\( y=-x^2-x+1\)
Perdonami totissimus, ma a me sembra che tu abbia solo calcolato l'integrale particolare e non quello generale dell'EDO... Non intendo ovviamente contraddirti, quanto piuttosto capire anche io 
Si infatti per la parte particolare nn avevo problemi, è l'altra che mi da problemi :S
"Demostene92":
Io proverei a sfruttare il fatto che un'equazione differenziale di ordine $k$ è riconducibile ad un sistema di $k$ equazioni del primo ordine... E' l'unica cosa che mi viene in mente :S
Cioè come svolgeresti? intendevi forse $ k-1 $ equazioni?
nessuno che mi può aiutare?
Potresti usare il metodo della variazione dele costanti http://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_delle_variazioni_delle_costanti ma devi trovare due soluzioni dell'omogenea associata. Io nè ho trovata solo una: \(\displaystyle y=x \).
Per la precisione devi trovarne due ,che chiameremo \(\displaystyle y_{1} \) e \(\displaystyle y_{2} \), in modo che \(\displaystyle \begin{bmatrix}
y_{1} & y_{2}\\
y'_{1} & y'_{2}
\end{bmatrix} \)
abbia determinante diverso da 0 per ogni x.
Per la precisione devi trovarne due ,che chiameremo \(\displaystyle y_{1} \) e \(\displaystyle y_{2} \), in modo che \(\displaystyle \begin{bmatrix}
y_{1} & y_{2}\\
y'_{1} & y'_{2}
\end{bmatrix} \)
abbia determinante diverso da 0 per ogni x.
Scusami ma forse c'è qualche errore nel messaggio che hai scritto, non riesco a leggere bene. Cmq avevo pensato anch'io a questo metodo, ma tu come hai fatto per trovare le soluzioni? cioè hai svolto il polinomio caratteristico dell'omogenea associata?
Per trovare la soluzione (né ho trovata solo una) ho scelto come soluzione dell'omogenea associata (ti ricordo che nel tuo caso l'omogenea associata è \(\displaystyle xy''-3xy'+3y=0 \)) la funzione \(\displaystyle y=ax+b \); poi ho scritto due equazioni imponendo che i coefficienti del polinomio che né risultava fossero tutti pari a zero perché al membro destro dell'equazione associata c'è 0. Ho trovato che a=1 b=0. Se scegli un qualsiasi altro polinomio di grado maggiore di 0 da assegnare alla y ed usi lo stesso metodo, troverai sempre y=x; se ne deduce che la seconda soluzione che devi trovare non sarà un polinomio.
Ciao
Ciao
Mmm non riesco a capire bene, cioè il metodo che devo usare per risolvere in generale questo tipo di equazioni quale sarebbe? Partire risolvendo direttamente l'omogenea? Però in questo caso l'omogena avrebbe in se valori della $ x $ e non so cosa cambi.
Nessuno che mi può aiutare?
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