Equazione differenziale del secondo ordine

[crg1]

Ho incontrato questa equazione differenziale:

$x^2y'' - xy' - 3y = 2log(x)$

Con le condizioni:

$y(1) = 0; y'(1) = -2$

In questo caso, immagino che dovrei usare il metodo della variazione delle costanti; il problema sta nel trovare le soluzioni y1 e y2 dell'equazione omogenea associata - come si fa a trovare queste soluzioni nel caso di un'equazione differenziale di secondo ordine, a coefficienti non costanti?

[Gi81]

Prova a cercare una soluzione del tipo $y(x)=x^n$, $n in ZZ$.

$y'=nx^(n-1)$, $y''=n(n-1)x^(n-2)$

$=>$ l'equazione diventa $n(n-1)x^n-nx^n-3x^n=0=> (n^2-2n-3)*x^n=0$

[crg1]

Quindi, ricercando le soluzioni del polinomio, la soluzione dovrebbe essere

$y(x) = c_1(x)*x^3 + c_2(x)*x^-2$

Ma la soluzione non dovrebbe essere linearmente indipendente?

[Giuly191]

Quelle lo sono!

[Gi81]

"crg":$y(x) = c_1(x)*x^3 + c_2(x)*x^-2$

$x^(-2)$ è sbagliato

[crg1]

"Gi8":[quote="crg"]$y(x) = c_1(x)*x^3 + c_2(x)*x^-2$

$x^(-2)$ è sbagliato[/quote]
È vero, è -1 e non -2.

"Giuly19":Quelle lo sono!

Ma due funzioni non si dicono linearmente indipendenti quando $a_1f(x) + b_1g(x) = 0$ solo quando $a = 0$ e $b = 0$?

[Gi81]

"crg":Ma due funzioni non si dicono linearmente indipendenti quando $a_1f(x) + b_1g(x) = 0$ solo quando $a = 0$ e $b = 0$?

Sì, $AAx in RR$. O comunque, $AA x $ dell'intervallo della soluzione

[crg1]

E ponendo x = 0 non si ha che $c_1(0)⋅0^3+c_2(0)⋅0^-1 = 0$? Dov'è che sbaglio?

[Giuly191]

Sbagli nel non leggere quello che ti viene scritto

"Gi8":[quote="crg"]Ma due funzioni non si dicono linearmente indipendenti quando $a_1f(x) + b_1g(x) = 0$ solo quando $a = 0$ e $b = 0$?

Sì, $AAx in RR$. O comunque, $AA x $ dell'intervallo della soluzione[/quote]

[crg1]

Chiedo venia, insistevo a leggerlo in maniera sbagliata.

Allora, abbiamo la soluzione $y(x) = c_1(x)*x^3 + c_2(x) * x^(-1);


$\{ (c'_1(x)y_1 + c'_1(x)y_2 = 0), (c'_1(x)y'_1 + c'_2(x)y'_2 = 2log(x)):}$

Il wronksiano W(x):

$W(x) = | (y_1(x), y_2(x)), (y'_1(x), y'_2(x)) | = x^3*(-x^(-2)) - (3x^2)*(x^-1) = -4x$

Quindi

$c'_1(x) = | (0, y_2(x)), (2log(x), y'_2(x)) | / (W(x)) = (-2log(x)x^-1)/(-4x) = log(x)/x$

$c'_2(x) = | (y_1(x), 0), (y'_1, 2log(x)) | / (W(x)) = (2log(x)x^3)/(-4x) = (-x^2log(x))/2$

Se fin qui è corretto: a tal punto basta integrare $c'_1(x) e c'_2(x)$?