Equazione differenziale del secondo ordine
Ciao a tutti,
ho la seguente equazione differenziale:$y''=2e^x+y$. Come si risolve?
Io ho fatto: $y''-y=2e^x$ e risolvo l'omogenea associata $\lambda^2-1=0$ che ha soluzioni $-1$ e $1$
Dunque la soluzione generale è $c_1 e^(-x)+ c_2 e^x$
Poi ho posto $c_2(x)=2e^x$, stiamo cercando una soluzione del tipo $\bar y(x)=kxe^x$ e trovo il valore $k=1/2$
La soluzione completa è dunque $e^(-x)+ e^x (x+c -1/2)$
Pensate sia corretta?
Grazie
ho la seguente equazione differenziale:$y''=2e^x+y$. Come si risolve?
Io ho fatto: $y''-y=2e^x$ e risolvo l'omogenea associata $\lambda^2-1=0$ che ha soluzioni $-1$ e $1$
Dunque la soluzione generale è $c_1 e^(-x)+ c_2 e^x$
Poi ho posto $c_2(x)=2e^x$, stiamo cercando una soluzione del tipo $\bar y(x)=kxe^x$ e trovo il valore $k=1/2$
La soluzione completa è dunque $e^(-x)+ e^x (x+c -1/2)$
Pensate sia corretta?
Grazie
Risposte
Beh, il risultato lo puoi verificare da te: calcola [tex]y^{\prime \prime}[/tex], sottrai [tex]y[/tex] e vedi cosa esce fuori...
Ma così ad occhio non credo proprio sia corretto come integrale generale; ti manca una costante arbitraria.
Ma così ad occhio non credo proprio sia corretto come integrale generale; ti manca una costante arbitraria.
puoi dirmi dove sbaglio?
"bius88":
Ciao a tutti,
ho la seguente equazione differenziale:$y''=2e^x+y$. Come si risolve?
Io ho fatto: $y''-y=2e^x$ e risolvo l'omogenea associata $\lambda^2-1=0$ che ha soluzioni $-1$ e $1$
Dunque la soluzione generale è $c_1 e^(-x)+ c_2 e^x$
Fin qua credo sia tutto giusto; ora come faccio a trovare una soluzione particolare dell'equazione completa?
Grazie!
Come ti hanno insegnato che si fa a determinare un integrale particolare?
A me hanno insegnato così...
Ho [tex]$y^{\prime \prime} -y=2e^x$[/tex]; il termine noto è del tipo [tex]$P(x)\cdot e^{\alpha x}$[/tex], con [tex]$P(x)$[/tex] polinomio di grado [tex]$0$[/tex] (infatti [tex]$P(x)=2$[/tex]); un integrale particolare [tex]$\bar{y}$[/tex] è quindi del tipo:
- [tex]$\bar{y} (x)=Q(x)e^{\alpha x}$[/tex], con [tex]$\text{grad} (Q)=\text{grad} (P)$[/tex] se [tex]$\alpha$[/tex] non è radice del polinomio caratteristico;
- [tex]$\bar{y} (x)=x^m Q(x) e^{\alpha x}$[/tex], con [tex]$\text{grad} (Q)=\text{grad} (P)$[/tex] se [tex]$\alpha$[/tex] è radice del polinomio caratteristico di molteplicità [tex]$m$[/tex].
Nel tuo caso chi è [tex]$\alpha$[/tex]? In quale dei due casi sopra elencati ricade?
Una volta trovato [tex]$\bar{y}$[/tex], lo sommi all'integrale generale dell'omogenea ed hai finito.
A me hanno insegnato così...
Ho [tex]$y^{\prime \prime} -y=2e^x$[/tex]; il termine noto è del tipo [tex]$P(x)\cdot e^{\alpha x}$[/tex], con [tex]$P(x)$[/tex] polinomio di grado [tex]$0$[/tex] (infatti [tex]$P(x)=2$[/tex]); un integrale particolare [tex]$\bar{y}$[/tex] è quindi del tipo:
- [tex]$\bar{y} (x)=Q(x)e^{\alpha x}$[/tex], con [tex]$\text{grad} (Q)=\text{grad} (P)$[/tex] se [tex]$\alpha$[/tex] non è radice del polinomio caratteristico;
- [tex]$\bar{y} (x)=x^m Q(x) e^{\alpha x}$[/tex], con [tex]$\text{grad} (Q)=\text{grad} (P)$[/tex] se [tex]$\alpha$[/tex] è radice del polinomio caratteristico di molteplicità [tex]$m$[/tex].
Nel tuo caso chi è [tex]$\alpha$[/tex]? In quale dei due casi sopra elencati ricade?
Una volta trovato [tex]$\bar{y}$[/tex], lo sommi all'integrale generale dell'omogenea ed hai finito.
nel mio caso $\alpha=1$ ed è soluzione dell'omogenea associata dunque mi devo rifare al caso 2
Esatto.
Ora chi sono [tex]$m$[/tex] e [tex]$Q(x)$[/tex]?
Ora chi sono [tex]$m$[/tex] e [tex]$Q(x)$[/tex]?
$m$ dovrebbe essere la molteplicità di $\alpha$ cioè $1$, $Q(x)$ non lo so..
Ok, [tex]$m=1$[/tex]!
Ma chi è [tex]$Q(x)$[/tex]?
Per quanto ne sai dalla seconda alternativa, [tex]$Q(x)$[/tex] è un polinomio dello stesso grado di [tex]$P(x)=2$[/tex]: quindi [tex]$Q(x)$[/tex] è un polinomio di grado [tex]$0$[/tex], ossia [tex]$Q(x)=a$[/tex].
Il coefficiente [tex]$a$[/tex] ([tex]$\neq 0$[/tex]) è da determinarsi in modo che [tex]$\bar{y}(x):=axe^{x}$[/tex] sia soluzione della tua equazione completa [tex]$y^{\prime \prime} -y=2e^x$[/tex].
Come fare a trovare l'[tex]$a$[/tex] giusto?
Semplice!
Basta calcolare [tex]$\bar{y}^{\prime \prime}$[/tex], sostituire [tex]$\bar{y}^{\prime \prime} ,\ \bar{y}$[/tex] nella tua equazione completa, semplificare e risolvere rispetto ad [tex]$a$[/tex]!
Ma chi è [tex]$Q(x)$[/tex]?
Per quanto ne sai dalla seconda alternativa, [tex]$Q(x)$[/tex] è un polinomio dello stesso grado di [tex]$P(x)=2$[/tex]: quindi [tex]$Q(x)$[/tex] è un polinomio di grado [tex]$0$[/tex], ossia [tex]$Q(x)=a$[/tex].
Il coefficiente [tex]$a$[/tex] ([tex]$\neq 0$[/tex]) è da determinarsi in modo che [tex]$\bar{y}(x):=axe^{x}$[/tex] sia soluzione della tua equazione completa [tex]$y^{\prime \prime} -y=2e^x$[/tex].
Come fare a trovare l'[tex]$a$[/tex] giusto?
Semplice!
Basta calcolare [tex]$\bar{y}^{\prime \prime}$[/tex], sostituire [tex]$\bar{y}^{\prime \prime} ,\ \bar{y}$[/tex] nella tua equazione completa, semplificare e risolvere rispetto ad [tex]$a$[/tex]!
"gugo82":
Come fare a trovare l'[tex]$a$[/tex] giusto?
Semplice!
Basta calcolare [tex]$\bar{y}^{\prime \prime}$[/tex], sostituire [tex]$\bar{y}^{\prime \prime} ,\ \bar{y}$[/tex] nella tua equazione completa, semplificare e risolvere rispetto ad [tex]$a$[/tex]!
[tex]$\bar{y}(x):=axe^{x}$[/tex] dunque $\bar{y}''=(ax+2a)*e^x$; sostituendo ho:$(ax+2a)*e^x-ax*e^x=2e^x$ $rArr$ $2ae^x=2e^x$ $rArr$ $a=1$
E ora?
Per favore, almeno le derivate calcolale bene... 
ora dovrebbe essere giusta la derivata...
"bius88":
[quote="gugo82"]
Come fare a trovare l'[tex]$a$[/tex] giusto?
Semplice!
Basta calcolare [tex]$\bar{y}^{\prime \prime}$[/tex], sostituire [tex]$\bar{y}^{\prime \prime} ,\ \bar{y}$[/tex] nella tua equazione completa, semplificare e risolvere rispetto ad [tex]$a$[/tex]!
[tex]$\bar{y}(x):=axe^{x}$[/tex] dunque $\bar{y}''=(ax+2a)*e^x$; sostituendo ho:$(ax+2a)*e^x-ax*e^x=2e^x$ $rArr$ $2ae^x=2e^x$ $rArr$ $a=1$
E ora?[/quote]
Ora hai [tex]$\bar{y} (x)=xe^x$[/tex], che è una soluzione particolare dell'equazione completa; somma a [tex]$\bar{y}$[/tex] l'integrale generale dell'equazione omogenea associata ed hai finito.
La soluzione è $c_1e^(-x)+c_2e^x+xe^x$
E' corretta? Fatemi sapere..grazie! 
Certo che è corretta, altrimenti ti avrei avvertito... 
ah...grazie!!
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