Equazione differenziale del secondo ordine

[mic85rm]

dubbio

$y''-y=(x+1)e^x$ con $y(0)=0$ e $y'(0)=1$

eq.caratteristica è $k^2 -1=0$ il delta di questa equazione è positivo con $k1=-1$ e$ k2=1 $ ed $alpha=1$ quindi k2 è radice semplice qundi l'integrale particolare deve essere del tipo $q(x)=(x+1)Bx e^x$

calcolo la derivata prima di q(x)= $e^x(2Bx+Bx^2+B+Bx)$

la derivata seconda di q(x)=$e^x(2B+2Bx+2Bx+Bx^2+B+B+Bx)$

sostiuisco alla equqaione differenziale iniziale
$e^x(2B+2Bx+2Bx+Bx^2+B+B+Bx)-Bx^2-Bx=x+1$
ora mi calcolo $B=1/4$

sostituisco B a $q(x)=(x+1)1/4 x e^x$

quindi l'integrale generale è $y=C1e^-x+C2 e^x+(x+1)1/4 x e^x$

ora se sostituico $y(0)=0$ diventa$C1+C2=0$

ora mi calcolo la derivata dell'integrale generale:$
y'=-C1e^-x+C2e^x+2/4xe^x+1/4x^2e^x+1/4e^x+1/4xe^x
$

ora sostituisco$1=-C1+C2+1/4$

quindi C2=3/8 e C1=-3/8

soluzione problema CauchY è

$y(x)=-3/8e^-x+3/8e^x+(x+1)1/4 x e^x$

[donald_zeka]

È tutto cosí dannatamente sbagliato

[mic85rm]

"Vulplasir":È tutto cosí dannatamente sbagliato

Non pensavo di aver sbagliato tutto.ho seguito le direttive del libro dei superiori in mio possesso.l unico dubbio è su quel (x+1)e^x che crea problemi?
Anche se credo di aver sbagliato le derivate...ora ricontrolllo

[mic85rm]

ora dovrebbero essere corretti tutti i calcoli

[ondine1]

allora, l'equazione è:
$y''-y = (x+1)e^x $
come giustamente hai detto, risolviamo prima l'equazione omogenea:
$y''-y = 0$ e quindi $y_o = Ae^x + Be^-x $
adesso cerchiamo una soluzione particolare del tipo
$y_p = q(x)e^x $
da cui si ricava che
$y'_p = q'e^x+qe^x $
$y''_p = q''e^x +q'e^x+q'e^x+qe^x = (q''+2q+q)e^x $
deve essere
$y''_p-y_p=(x+1)e^x $
sostituendo
$(q''+2q'+q)e^x-qe^x= (x+1)e^x $
$(q''+2q')e^x=(x+1)e^x $
quindi
$q'' +2q' = x+1 $ con q polinomio
quindi q' deve essere scritto come $q' = C_1x+C_2$
sostituendo
$C_1 +2C_1x+2C_2= x+1 $
uguagliando i coefficienti
$ 2C_1=1 $ e $C_1+2C_2=1$ e quindi $C_1=1/2$ e $C_2=1/4$
quindi $q' = 1/2x +1/4$ e $q = 1/4x^2+1/4x+c$
alla fine abbiamo che
$y = y_o + y_p= Ae^x + Be^-x +(1/4x^2+1/4x+c)e^x$
$y = (A+c)e^x + Be^-x + 1/4x^2e^x+1/4xe^x $
$y = A'e^x+Be^-x+1/4x^2e^x+1/4xe^x$
$y(0)=0 => A'+B=0$
$y'(0)=1 => A'-B+1/4=1 $
Perciò alla fine
$A'=3/8$ e $B=-3/8$
quindi
$y= 3/8e^x -3/8e^-x+1/4x^2e^x+1/4xe^x $

[mic85rm]

"ondine":allora, l'equazione è:
$y''-y = (x+1)e^x $
come giustamente hai detto, risolviamo prima l'equazione omogenea:
$y''-y = 0$ e quindi $y_o = Ae^x + Be^-x $
adesso cerchiamo una soluzione particolare del tipo
$y_p = q(x)e^x $
da cui si ricava che
$y'_p = q'e^x+qe^x $
$y''_p = q''e^x +q'e^x+q'e^x+qe^x = (q''+2q+q)e^x $
deve essere
$y''_p-y_p=(x+1)e^x $
sostituendo
$(q''+2q'+q)e^x-qe^x= (x+1)e^x $
$(q''+2q')e^x=(x+1)e^x $
quindi
$q'' +2q' = x+1 $ con q polinomio
quindi q' deve essere scritto come $q' = C_1x+C_2$
sostituendo
$C_1 +2C_1x+2C_2= x+1 $
uguagliando i coefficienti
$ 2C_1=1 $ e $C_1+2C_2=1$ e quindi $C_1=1/2$ e $C_2=1/4$
quindi $q' = 1/2x +1/4$ e $q = 1/4x^2+1/4x+c$
alla fine abbiamo che
$y = y_o + y_p= Ae^x + Be^-x +(1/4x^2+1/4x+c)e^x$
$y = (A+c)e^x + Be^-x + 1/4x^2e^x+1/4xe^x $
$y = A'e^x+Be^-x+1/4x^2e^x+1/4xe^x$
$y(0)=0 => A'+B=0$
$y'(0)=1 => A'-B+1/4=1 $
Perciò alla fine
$A'=3/8$ e $B=-3/8$
quindi
$y= 3/8e^x -3/8e^-x+1/4x^2e^x+1/4xe^x $

È uguale alla mia .. cmq grazie

[pilloeffe]

Ciao mic85rm,

La soluzione del problema proposto

$y(x) = -3/8e^{-x} +3/8 e^x+(x+1)1/4 x e^x = 1/8 e^{-x}[e^{2x}(2x^2 + 2x + 3) - 3] $

è corretta. Qual è il problema?

[mic85rm]

Nella prima stesura avevo sbagliato le derivate e non trovavo il valore Delle 2 costanti