Equazione differenziale del secondo ordine
Ciao a tutti, ho un esercizio piuttosto lungo da sottoporvi: mi si chiede innanzitutto per quali $p inRR$ tutte le soluzioni di $y''-2y'+py=0$ hanno limite nullo per $xrarr+oo$.
E' ovviamente un'equazione del secondo ordine omogenea, e il suo polinomio caratteristico è $P(lambda)=lambda^2-2lambda+p$. Quindi $Delta=4(1-p)$ e si presentano tre casi:
1) Se $Delta>0$, ovvero $p<1$, si hanno le radici $lambda_(1,2)=1+-sqrt(1-p)$;
2) Se $Delta=0$, ovvero $p=1$, si ha l'unica soluzione $lambda=1$;
3) Se $Delta <0$, l'equazione ha due radici coniugate in $CC$, $lambda_(+-)=1+-isqrt(p-1)$
Esaminando il primo caso si ha la soluzione $y(x)=c_1e^(1+sqrt(1-p))x+c_2e^(1-sqrt(1-p))x$; affinché $y(x)rarr_(+oo)0$, entrambi gli esponenziali devono decadere a zero e quindi le $x$ devono avere coefficienti negativi. Ma si vede subito che $1+sqrt(1-p)<0$ implica $sqrt(1-p)<-1$, impossibile. Questo mi porta a concludere che non esistano valori di $p$ per cui tutte le soluzioni hanno limite all'infinito nullo. Pensate sia corretto?
L'esercizio prosegue chiedendomi di determinare le soluzioni di $y''-2y'+py=e^((2-p)x)$. Riciclando quanto fatto prima, si hanno come soluzioni dell'omogenea associata:
1) $y_O(x)=c_1e^(1+sqrt(1-p))x+c_2e^(1-sqrt(1-p))x$
2) $y_O(x=c_1e^x+xc_2e^x$
3) $y_O(x)=c_1e^xsin(sqrt(p-1)x)+c_2e^xcos(sqrt(p-1)x)$
Uso il metodo della somiglianza per la soluzione particolare: $e^((2-p)x)$ è nella forma $Q(x)e^(mux)$ con $mu=2-p$ e $text(deg)(Q(x))=0$. Quindi, distinguendo i casi:
1) Se $p<1$ e $mu=lambda_1$ o $mu=lambda_2$, allora la soluzione particolare è $y(x)=Cxe^((2-p)x)$. Ma le due equazioni si riscrivono come $sqrt(1-p)=1-p$, vera solo se $1-p=1 rarr p=0$ o per $1-p=0 rarr p=1$ (da escludere) e $sqrt(1-p)=p-1$, impossibile. Per ogni altro valore di $mu$ si ha la soluzione $y(x)=Ce^((2-p)x)$.
2) Se $p=1$ si ha che $lambda=mu$ e quindi $y(x)=Cx^2e^x$.
3) Se $p>1$ si ha come soluzione particolare $y(x)=Ce^((2-p)x)$ poiché sicuramente $lambda!=mu$.
Questo dovrebbe esaurire i casi possibili, ma onestamente ho fatto tutto in modo un po' ingarbugliato e mi farebbe piacere se ho proceduto correttamente... se qualcuno sapesse indicarmi se c'è qualcosa che sbaglio, mi farebbe un gran favore
E' ovviamente un'equazione del secondo ordine omogenea, e il suo polinomio caratteristico è $P(lambda)=lambda^2-2lambda+p$. Quindi $Delta=4(1-p)$ e si presentano tre casi:
1) Se $Delta>0$, ovvero $p<1$, si hanno le radici $lambda_(1,2)=1+-sqrt(1-p)$;
2) Se $Delta=0$, ovvero $p=1$, si ha l'unica soluzione $lambda=1$;
3) Se $Delta <0$, l'equazione ha due radici coniugate in $CC$, $lambda_(+-)=1+-isqrt(p-1)$
Esaminando il primo caso si ha la soluzione $y(x)=c_1e^(1+sqrt(1-p))x+c_2e^(1-sqrt(1-p))x$; affinché $y(x)rarr_(+oo)0$, entrambi gli esponenziali devono decadere a zero e quindi le $x$ devono avere coefficienti negativi. Ma si vede subito che $1+sqrt(1-p)<0$ implica $sqrt(1-p)<-1$, impossibile. Questo mi porta a concludere che non esistano valori di $p$ per cui tutte le soluzioni hanno limite all'infinito nullo. Pensate sia corretto?
L'esercizio prosegue chiedendomi di determinare le soluzioni di $y''-2y'+py=e^((2-p)x)$. Riciclando quanto fatto prima, si hanno come soluzioni dell'omogenea associata:
1) $y_O(x)=c_1e^(1+sqrt(1-p))x+c_2e^(1-sqrt(1-p))x$
2) $y_O(x=c_1e^x+xc_2e^x$
3) $y_O(x)=c_1e^xsin(sqrt(p-1)x)+c_2e^xcos(sqrt(p-1)x)$
Uso il metodo della somiglianza per la soluzione particolare: $e^((2-p)x)$ è nella forma $Q(x)e^(mux)$ con $mu=2-p$ e $text(deg)(Q(x))=0$. Quindi, distinguendo i casi:
1) Se $p<1$ e $mu=lambda_1$ o $mu=lambda_2$, allora la soluzione particolare è $y(x)=Cxe^((2-p)x)$. Ma le due equazioni si riscrivono come $sqrt(1-p)=1-p$, vera solo se $1-p=1 rarr p=0$ o per $1-p=0 rarr p=1$ (da escludere) e $sqrt(1-p)=p-1$, impossibile. Per ogni altro valore di $mu$ si ha la soluzione $y(x)=Ce^((2-p)x)$.
2) Se $p=1$ si ha che $lambda=mu$ e quindi $y(x)=Cx^2e^x$.
3) Se $p>1$ si ha come soluzione particolare $y(x)=Ce^((2-p)x)$ poiché sicuramente $lambda!=mu$.
Questo dovrebbe esaurire i casi possibili, ma onestamente ho fatto tutto in modo un po' ingarbugliato e mi farebbe piacere se ho proceduto correttamente... se qualcuno sapesse indicarmi se c'è qualcosa che sbaglio, mi farebbe un gran favore
Risposte
A me sembra tutto giusto!
Perfetto, grazie!
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