Equazione differenziale del secondo ordine
Ciao a tutti, ho un altro esercizio che mi dà qualche problema. L'equazione incriminata è
\[y''-4y=x^2e^{2x}\] Dal polinomio caratteristico $P(lambda)=(lambda)^2-4=0$ ho le radici $+-2$. Essendo entrambe reali e distinte tra loro, la soluzione dell'omogenea associata è $y_O(x)=c_1e^(2x)+c_2e^(-2x)$.
Ho inizialmente provato con il metodo della somiglianza, ottenendo $y_P(x)=xe^(2x)(Ax^2+Bx+C)$ ma le derivate sono follemente lunghe e sostituire nell'equazione diventava un'impresa penosa.
Con il metodo di Lagrange ottengo invece il sistema ${(psi_1'e^(2x)-psi_2'e^(-2x)=0),(psi_1'2e^(2x)-psi_2'2e^(-2x)=x^2e^(2x)):}$
Moltiplicando la prima equazione per $e^(-2x)$ e svolgendo i conti per sostituzione non arrivo però alla soluzione: infatti i termini $psi_1'$ e $psi_2'$ si cancellano tra loro.
Secondo voi il sistema è impostato correttamente? Ho commesso errori di calcolo nello svolgimento? Grazie mille a chiunque risponderà...
\[y''-4y=x^2e^{2x}\] Dal polinomio caratteristico $P(lambda)=(lambda)^2-4=0$ ho le radici $+-2$. Essendo entrambe reali e distinte tra loro, la soluzione dell'omogenea associata è $y_O(x)=c_1e^(2x)+c_2e^(-2x)$.
Ho inizialmente provato con il metodo della somiglianza, ottenendo $y_P(x)=xe^(2x)(Ax^2+Bx+C)$ ma le derivate sono follemente lunghe e sostituire nell'equazione diventava un'impresa penosa.
Con il metodo di Lagrange ottengo invece il sistema ${(psi_1'e^(2x)-psi_2'e^(-2x)=0),(psi_1'2e^(2x)-psi_2'2e^(-2x)=x^2e^(2x)):}$
Moltiplicando la prima equazione per $e^(-2x)$ e svolgendo i conti per sostituzione non arrivo però alla soluzione: infatti i termini $psi_1'$ e $psi_2'$ si cancellano tra loro.
Secondo voi il sistema è impostato correttamente? Ho commesso errori di calcolo nello svolgimento? Grazie mille a chiunque risponderà...
Risposte
la prima equazione non dovrebbe avere il +? nella seconda invece mi sembra corretto il meno perchè hai derivato $e^(-2x)$
Ciao Gustav Wittgenstein,
La soluzione particolare è corretta, dopo un po' di calcoli si trova $A = 1/12 $, $B = - 1/16 $ e $C = 1/32 $, per cui la soluzione dell'equazione differenziale $ y''-4y=x^2e^{2x} $ proposta è la seguente:
$y(x) = y_o(x) + y_p(x) = c_1 e^(2x) + c_2 e^(-2x) + x e^{2x}(frac{1}{12} x^2 - frac{1}{16} x + 1/32) $
"Gustav Wittgenstein":
Ho inizialmente provato con il metodo della somiglianza, ottenendo $y_p(x) = xe^{2x}(Ax^2 + Bx + C)$
La soluzione particolare è corretta, dopo un po' di calcoli si trova $A = 1/12 $, $B = - 1/16 $ e $C = 1/32 $, per cui la soluzione dell'equazione differenziale $ y''-4y=x^2e^{2x} $ proposta è la seguente:
$y(x) = y_o(x) + y_p(x) = c_1 e^(2x) + c_2 e^(-2x) + x e^{2x}(frac{1}{12} x^2 - frac{1}{16} x + 1/32) $
Ciao pilloeffe, grazie per la risposta. Mi scuso se loggo soltanto oggi, comunque avevo trovato l'errore di calcolo 
"Gustav Wittgenstein":
grazie per la risposta.
Prego!
"Gustav Wittgenstein":
Mi scuso se loggo soltanto oggi, comunque avevo trovato l'errore di calcolo
No problem, tutto è bene quel che finisce bene...
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