Equazione differenziale del secondo ordine

[Ale88ssia]

Ciao a tutti! mi sono imbattuta in un equazione differenziale del secondo ordine di questo tipo :

\(\displaystyle y'' - \frac{2x}{1+x^2}y' = 0\) e mi viene richiesto di trovare l'integrale generale...

ordunque, c'è un metodo generale per trovare l'integrale generale di questo tipo di equazioni? oppure ogni caso è diverso da un altro?

p.s. scusate l'ignoranza e grazie in anticipo...

[Summerwind78]

Ciao


per prima cosa ti suggerisco di fare una sostituzione del tipo $z=y'$ in modo che la tua equazione differenziale diventi

$z'-(2x)/(1+x^2)z$
che puoi trasformare in

[tex]\displaystyle \frac{1}{z} z' = \frac{2x}{1+x^{2}} \rightarrow \frac{1}{z} \frac{dz}{dx} = \frac{2x}{1+x^{2}} \rightarrow \frac{1}{z} dz = \frac{2x}{1+x^{2}} dx \rightarrow \int \frac{1}{z} dz = \int \frac{2x}{1+x^{2}} dx[/tex]

il resto del ragionamento lo lascio a te

se hai ancora dubbi chiedi pure

[Ale88ssia]

aaaah ok!!! quindi bastava solo fare quella piccola sostituzione e poi il tutto si trasforma in un equazione a variabili separabili!! non ci avevo minimamente pensato :\

Grazie mille per la risposta e per avermi illuminata!!

[Summerwind78]

Così mi fai sentire una lampadina

a parte le battute stupide, figurati, quando posso aiuto volentieri

[gugo82]

"Ale88ssia":mi sono imbattuta in un equazione differenziale del secondo ordine di questo tipo :

\(\displaystyle y'' - \frac{2x}{1+x^2}y' = 0\) e mi viene richiesto di trovare l'integrale generale...

L'equazione è equivalente a:
\[
\frac{1}{1+x^2}\ y^{\prime \prime}(x) - \frac{2x}{(1+x^2)^2}\ y^\prime (x) =0
\]
la quale si riscrive:
\[
\frac{\text{d}}{\text{d} x}\left[ \frac{1}{1+x^2}\ y^\prime (x) \right] =0\; .
\]
Conseguentemente:
\[
\frac{1}{1+x^2}\ y^\prime (x) =C_1 \qquad \text{(costante)}
\]
ossia:
\[
y^\prime (x) = C_1\ (1+x^2)\; ,
\]
da cui:
\[
y(x) = C_1\ \left( x+\frac{1}{3}\ x^3\right) + C_2\; ,
\]
che è l'integrale generale dell'equazione.