Equazione differenziale del secondo ordine

[Venosino1]

Ciao a tutti, mi aiutereste a risolvere questa equazione differenziale?
$ y''-y=x*sin(x)+1 $
Ho calcolato facilmente la soluzione dell'omogenea associata, cioè $c_1*e^x + c_2*e^-x$
Per la soluzione particolare ho utilizzato il metodo di Lagrange provando a risolvere il sistema di 2 equazioni ma quando vado a calcolare $c'(x)$ e $c''(x)$ mi vengono degli integrali parecchio complessi.
Ho letto di un "principio di sovrapposizione" solo che non so applicarlo, si può in questo caso e come?
Grazie

[Sk_Anonymous]

Puoi cercare una soluzione particolare procedendo "per somiglianza", ovvero tentando con una funzione che generalizzi il secondo membro dell'equazione pur " assomigliandogli !
Nel caso tuo puoi provare ponendo :
(1) $y=Axsinx+Bxcosx+Csinx+Dcosx+E$
Derivando due volte hai :
(2) $y''=(2A-D)cosx+(-2B-C)sinx-Axsinx-Bxcosx$
Sostituendo (1) e (2) nell'equazione data si ha :
$(2A-2D)cosx+(-2B-2C)sinx-2Axsinx-2Bxcosx-E=xsinx+1$
Da cui risulta il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}2A-2D=0\\-2B-2C=0\\-2A=1\\-2B=0\\-E=1\end{cases} \)
La soluzione è :
$A=D=-1/2,B=C=0,E=-1$
Pertanto la soluzione particolare $y_o $ ( da sommare a quella già trovata dell'equazione omogenea ) è :
$y_o=-1/2xsinx-1/2cosx-1$

[Barba2]

Ciao, scusa sono interessato all'esercizio.
Da dove hai ottenuto la formula:
$ y=Axsinx+Bxcosx+Csinx+Dcosx+E $ ?

[Venosino1]

Grazie mille
Interesserebbe capire anche a me come è stata ricavata quell'equazione.

[size=85]Per Barba: Capozzi? [/size]

[Barba2]

"Ardith":
[size=85]Per Barba: Capozzi? [/size]

Ahahah purtroppo si

[Sk_Anonymous]

L'ho detto: si procede per somiglianza e comunque per tentativi successivi ( non ci sono regole predefinite e fisse: tutto dipende dalla forma dell'equazione da risolvere). Nel nostro caso il secondo membro dell'equazione data è $x(sinx)+1$ e quindi si comincia col tentare una soluzione di forma simile:
$x(A cdot sinx+B cdot cosx)+E$
E' facile verificare che, dopo le derivazioni necessarie, l'espressione considerata non è sufficiente allo scopo, per la presenza di termini "liberi" in $sinx$ e $cosx$. Si affina quindi la ricerca aggiungendo termini in $sinx$ e $cosx$ :
$x(A cdot sinx+B cdot cosx)+C sinx+Dcosx+E$
A questo punto la ricerca termina perché, come ho scritto in precedenza, è possibile determinare le costanti $A,B,C,D,E$
P.S. Un tale procedimento può apparire " poco scientifico" ma è espressamente previsto tra i metodi di risoluzione delle
equazioni differenziali.