Equazione differenziale del secondo ordine
Buonasera a tutti, ho un'equazione differenziale che non riesco a ricondurre a nessuno dei tipi a me noti, ho pensato ad una sostituzione ma non come metterla in pratica:
y’’=2(y’)^2+e^y(y’)^3
Grazie a chi cercherà di aiutarmi
y’’=2(y’)^2+e^y(y’)^3
Grazie a chi cercherà di aiutarmi
Risposte
L'equazione sarebbe questa?
$y''=2(y')^2+e^y(y')^3$?
Dunque, il metodo che devi usare non è proprio uno dei più immediati. Provo a spiegartelo in breve.
Per prima cosa osserva che se $y'=0$ e quindi se $y=c$ costante, hai una soluzione dell'equazione. A questo punto supponiamo che $y'\ne 0$. Tu hai la funzione $y=y(x)$: puoi supporre che essa sia invertibile (il perché e percome qui non ci interessa, anche se è correlato al fatto che $y'\ne 0$) e quindi scrivere $x=x(y)$, cioè usare la $x$ come nuova funzione e la $y$ come variabile dipendente. Se ora andiamo a calcolare le derivate si ha, dal teorema di derivazione della funzione inversa
$y'=\frac{dy}{dx}=1/\dot{x}$ (indico con $\dot{x}$ la derivata di $x$ rispetto ad $y$)
e dal teorema di derivazione delle funzioni composte
$y''=\frac{d}{dx}(y')=\frac{d}{dy}(1/\dot{x})\cdot\frac{dy}{dx}=-\frac{\ddot{x}}{\dot{x}^2}\cdot 1/\dot{x}=-\frac{\ddot{x}}{\dot{x}^3}$
Ne segue, sostituendo
$-\frac{\ddot{x}}{\dot{x}^3}=2/{\dot{x}^2}+e^y\cdot 1/{\dot{x}^3}$
da cui
$-\ddot{x}=2\dot{x}+e^y$
o se vuoi
$\ddot{x}+2\dot{x}=-e^y$
la quale risulta una equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti nell'incognita $x=x(y)$. Suppongo che tu sappia come procedere adesso: in ogni caso la soluzione dell'equazione è
$x(y)=C_1 e^{-2y}+C_2-1/3 e^y$
la quale ti fornisce $y$ in forma implicita.
$y''=2(y')^2+e^y(y')^3$?
Dunque, il metodo che devi usare non è proprio uno dei più immediati. Provo a spiegartelo in breve.
Per prima cosa osserva che se $y'=0$ e quindi se $y=c$ costante, hai una soluzione dell'equazione. A questo punto supponiamo che $y'\ne 0$. Tu hai la funzione $y=y(x)$: puoi supporre che essa sia invertibile (il perché e percome qui non ci interessa, anche se è correlato al fatto che $y'\ne 0$) e quindi scrivere $x=x(y)$, cioè usare la $x$ come nuova funzione e la $y$ come variabile dipendente. Se ora andiamo a calcolare le derivate si ha, dal teorema di derivazione della funzione inversa
$y'=\frac{dy}{dx}=1/\dot{x}$ (indico con $\dot{x}$ la derivata di $x$ rispetto ad $y$)
e dal teorema di derivazione delle funzioni composte
$y''=\frac{d}{dx}(y')=\frac{d}{dy}(1/\dot{x})\cdot\frac{dy}{dx}=-\frac{\ddot{x}}{\dot{x}^2}\cdot 1/\dot{x}=-\frac{\ddot{x}}{\dot{x}^3}$
Ne segue, sostituendo
$-\frac{\ddot{x}}{\dot{x}^3}=2/{\dot{x}^2}+e^y\cdot 1/{\dot{x}^3}$
da cui
$-\ddot{x}=2\dot{x}+e^y$
o se vuoi
$\ddot{x}+2\dot{x}=-e^y$
la quale risulta una equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti nell'incognita $x=x(y)$. Suppongo che tu sappia come procedere adesso: in ogni caso la soluzione dell'equazione è
$x(y)=C_1 e^{-2y}+C_2-1/3 e^y$
la quale ti fornisce $y$ in forma implicita.
Ti ringrazio infinitamente. 
Un'ultima domanda: volendo risolvere un problema di Cauchy associato, per esempio imponendo y(1)=0, y'(1)=3, vado a sostituire come di consueto?
Un'ultima domanda: volendo risolvere un problema di Cauchy associato, per esempio imponendo y(1)=0, y'(1)=3, vado a sostituire come di consueto?
Certo... anzi forse con delle condizioni può risultare anche più facile risolvere tutto. Occhio solo al fatto che dovresti trovare il valore di $x,\ \dot{x}$, ma la cosa è abbastanza semplice:
se $y(1)=0$ allora $x(0)=1$
se $y'(1)=3$ allora $\dot{x}(3)=1/1=1$
se $y(1)=0$ allora $x(0)=1$
se $y'(1)=3$ allora $\dot{x}(3)=1/1=1$
Sei stato chiarissimo, grazie ancora.
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