Equazione differenziale del secondo ordine
Considero l'equazione differenziale $(y^2y'')/(1+y'^2)^(3/2)=1$.
Dividendo per $y^2$ e moltiplicando per $y'$ ottengo $(y'y'')/(1+y'^2)^(3/2)=(y')/y^2$.
Se ora integro, a sinistra ottengo $-2/y^3+c$ ma a destra cosa ottengo? Non riesco ad integrare l'espressione $(y'y'')/(1+y'^2)^(3/2)$.
Dividendo per $y^2$ e moltiplicando per $y'$ ottengo $(y'y'')/(1+y'^2)^(3/2)=(y')/y^2$.
Se ora integro, a sinistra ottengo $-2/y^3+c$ ma a destra cosa ottengo? Non riesco ad integrare l'espressione $(y'y'')/(1+y'^2)^(3/2)$.
Risposte
Direi che quella cosa è $D[-(1+y'^2)^{-1/2}]$ non credi? Comunque, quando fai quelle operazioni devi prima imporre
$y\ne 0$ e $y'\ne 0$ da cui $y\ne c$ costante e verificare se queste non possano essere soluzioni singolari.
$y\ne 0$ e $y'\ne 0$ da cui $y\ne c$ costante e verificare se queste non possano essere soluzioni singolari.
D'accordo, pongo $y!=0$ e $y'!=0$ (si intende che non devono essere identicamente nulle ma si possono annullare per qualche $x$ vero?).
Le funzioni costanti del tipo $y=c$ non possono essere soluzioni dell'equazione in quanto si avrebbe $y''=0$ e dunque $0=1$.
Integrando ottengo quindi:
$-(1+y'^2)^(-1/2)=-2/y^3+c$
Questa equazione non è ancora però in forma normale, cosa posso fare?
Preciso che devo studiare il problema di Cauchy $y(0)=1$, $y'(0)=0$.
Le funzioni costanti del tipo $y=c$ non possono essere soluzioni dell'equazione in quanto si avrebbe $y''=0$ e dunque $0=1$.
Integrando ottengo quindi:
$-(1+y'^2)^(-1/2)=-2/y^3+c$
Questa equazione non è ancora però in forma normale, cosa posso fare?
Preciso che devo studiare il problema di Cauchy $y(0)=1$, $y'(0)=0$.
"thedarkhero":
D'accordo, pongo $y!=0$ e $y'!=0$ (si intende che non devono essere identicamente nulle ma si possono annullare per qualche $x$ vero?).
Le funzioni costanti del tipo $y=c$ non possono essere soluzioni dell'equazione in quanto si avrebbe $y''=0$ e dunque $0=1$.
Integrando ottengo quindi:
$-(1+y'^2)^(-1/2)=-2/y^3+c$
Questa equazione non è ancora però in forma normale, cosa posso fare?
Preciso che devo studiare il problema di Cauchy $y(0)=1$, $y'(0)=0$.
No, intendi proprio che siano identicamente nulle, altrimenti che soluzioni singolari sarebbero?
Se è un problema di Cauchy quello che hai (e te ne potevi ricordare anche prima) allora ti conviene integrare in un altro modo: dal fatto che
$\frac{y' y''}{(1+y'^2)^{3/2}}=\frac{y'}{y^2}$
puoi scrivere, più correttamente, il seguente integrale:
$\int_0^{y'}\frac{s}{(1+s^2)^{3/2}}\ ds=\int_0^x {y'(t)}/{y^2(t)}\ dt$
e quindi
$[-(1+s^2)^{-1/2}]_0^{y'}=[-1/{y(t)}]_0^x$
e infine
$-(1+y'^2)^{-1/2}+1=-1/y+1$ (avendo usato il fatto che $y(0)=1,\ y'(0)=0$)
Pertanto si ha l'equazione del primo ordine
$1/{\sqrt{1+y'^2}}=1/y$
che manipolata algebricamente diventa
$y'=\pm\sqrt{y^2-1}$
P.S.: osserva che avevi calcolato male l'integrale a destra.
Appunto, dicevo che devo escludere le soluzioni identicamente nulle 
Ho corretto la primitiva a destra, grazie
Ora che l'equazione è in forma normale come la tratto? La tratto come una equazione a variabili separabili e dunque scrivo $(y')/sqrt(y^2-1)=+-1$?
Ho corretto la primitiva a destra, grazie
Ora che l'equazione è in forma normale come la tratto? La tratto come una equazione a variabili separabili e dunque scrivo $(y')/sqrt(y^2-1)=+-1$?
Certo, quella è (ops, pensavo di averlo scritto che era a variabili separabili). Osserva che alla fine potrai riutilizzare la condizione iniziale, per cui io scriverei la cosa seguente
$\int_1^y\frac{1}{\sqrt{s^2-1}}\ ds=\pm\int_0^x\ dx$
e verificherei se, effettivamente, entrambi i segni vanno bene (probabilmente no, perché...). In ogni caso, qui la soluzione costante $y(x)=1$ sembra andare bene (risolve l'equazione e le condizioni iniziali): come mai?
$\int_1^y\frac{1}{\sqrt{s^2-1}}\ ds=\pm\int_0^x\ dx$
e verificherei se, effettivamente, entrambi i segni vanno bene (probabilmente no, perché...). In ogni caso, qui la soluzione costante $y(x)=1$ sembra andare bene (risolve l'equazione e le condizioni iniziali): come mai?
Nel momento in cui "separo le variabili" sto dividendo per $sqrt(y^2-1)$ e dunque devo porre $y!=1$ e $y!=-1$ e verificare a parte se le soluzioni costanti $y=1$ e $y=-1$ risolvono il mio problema di Cauchy.
Tuttavia secondo me nessuna di queste due soddisfa alle condizioni del problema in quanto in particolare la soluzione costante $y=1$ è tale che $y''=0$ e dunque "inserendola" nell'equazione differenziale di partenza ottengo $0=1$.
Per quanto riguarda l'integrale dove eravamo rimasti ottengo...
$log|y+sqrt(1+y^2)|-log(1+sqrt(2))=+-x$
$e^(log|y+sqrt(1+y^2)|-log(1+sqrt(2)))=e^(+-x)$
$e^(log(|y+sqrt(1+y^2)|/(1+sqrt(2)))=e^(+-x)$
$|y+sqrt(1+y^2)|/(1+sqrt(2))=e^(+-x)$
$|y+sqrt(1+y^2)|=(1+sqrt(2))e^(+-x)$
$y+sqrt(1+y^2)=(1+sqrt(2))e^(+-x)$
A questo punto, se i conti che ho fatto sono giusti, ci sono due questioni: la prima è che non so se tenere il segno + o il segno - all'esponenziale a destra (mi dicevi che una delle due la posso scartare ma entrambe rispettano il problema di Cauchy); la seconda è che arrivato qui non mi è semplice esplicitare $y$...
Tuttavia secondo me nessuna di queste due soddisfa alle condizioni del problema in quanto in particolare la soluzione costante $y=1$ è tale che $y''=0$ e dunque "inserendola" nell'equazione differenziale di partenza ottengo $0=1$.
Per quanto riguarda l'integrale dove eravamo rimasti ottengo...
$log|y+sqrt(1+y^2)|-log(1+sqrt(2))=+-x$
$e^(log|y+sqrt(1+y^2)|-log(1+sqrt(2)))=e^(+-x)$
$e^(log(|y+sqrt(1+y^2)|/(1+sqrt(2)))=e^(+-x)$
$|y+sqrt(1+y^2)|/(1+sqrt(2))=e^(+-x)$
$|y+sqrt(1+y^2)|=(1+sqrt(2))e^(+-x)$
$y+sqrt(1+y^2)=(1+sqrt(2))e^(+-x)$
A questo punto, se i conti che ho fatto sono giusti, ci sono due questioni: la prima è che non so se tenere il segno + o il segno - all'esponenziale a destra (mi dicevi che una delle due la posso scartare ma entrambe rispettano il problema di Cauchy); la seconda è che arrivato qui non mi è semplice esplicitare $y$...
Guarda che dentro la radice c'è $s^2-1$ non $s^2+1$.... per cui
$\pm x=\log(y+\sqrt{y^2-1})$
Se adesso usi la condizione iniziale $y(0)=1$ vedi che essa è verificata sia che tu scelga $+x$ che $-x$, per cui entrambe le scelte vanno bene. Si ha allora
$y+\sqrt{y^2-1}=e^{\pm x}$
la quale, per quanto possa sembrare strano, è la soluzione.
$\pm x=\log(y+\sqrt{y^2-1})$
Se adesso usi la condizione iniziale $y(0)=1$ vedi che essa è verificata sia che tu scelga $+x$ che $-x$, per cui entrambe le scelte vanno bene. Si ha allora
$y+\sqrt{y^2-1}=e^{\pm x}$
la quale, per quanto possa sembrare strano, è la soluzione.
Grazie, un'ultima cosa...devo verificare che le due soluzioni (quella col + e quella col -) rispettino entrambe le condizioni di Cauchy oppure visto che questa era la soluzione ricavata usando i dati iniziali non serve nemmeno verificarlo?
Comunque ho fatto un po di conti per scrivere in maniera più chiara la soluzione:
$sqrt(y^2-1)=-y+e^(+-x)$
$y^2-1=y^2+e^(+-2x)-2ye^(+-x)$
$2ye^(+-x)-e^(+-2x)-1=0$
$y=(1+e^(+-2x))/(2e^(+-x))$
Comunque ho fatto un po di conti per scrivere in maniera più chiara la soluzione:
$sqrt(y^2-1)=-y+e^(+-x)$
$y^2-1=y^2+e^(+-2x)-2ye^(+-x)$
$2ye^(+-x)-e^(+-2x)-1=0$
$y=(1+e^(+-2x))/(2e^(+-x))$
E ora facciamo una magia: se prendo la soluzione col più
$y=1/2(1+e^{2x})\cdot e^{-x}=1/2(e^x+e^{-x})$
se prendo quella col meno
$y=1/2(1+e^{-2x})\cdot e^{x}=1/2(e^x+e^{-x})$
per cui la soluzione è sempre la stessa!
Hai un problema di Cauchy, la soluzione doveva essere unica.... invece sembrava ce ne fossero 2! Ti sei chiesto il perché? (ed era il senso di una domanda fatta prima a cui non hai risposto!)
$y=1/2(1+e^{2x})\cdot e^{-x}=1/2(e^x+e^{-x})$
se prendo quella col meno
$y=1/2(1+e^{-2x})\cdot e^{x}=1/2(e^x+e^{-x})$
per cui la soluzione è sempre la stessa!
Hai un problema di Cauchy, la soluzione doveva essere unica.... invece sembrava ce ne fossero 2! Ti sei chiesto il perché?
(ed era il senso di una domanda fatta prima a cui non hai risposto!)
Sisi la soluzione è appunto unica, qual'è la domanda alla quale non ho risposto?
Il fatto che venisse una soluzione con più e una col meno 8e quindi, apparentemente, 2 soluzioni diverse).
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