Equazione differenziale del primo ordine, dubbio su valori assoluti.
l'equazione è tratta da un problema di cauchy ed è la seguente:
$y'=((-2x)/(1-x^2))y+(4x)/(1-x^2)sqrt(y)$
Procedo con la risoluzione in questo modo:
$sqrt(y)=z$
$z'=(1/(2sqrt(y))y')$
$2z'=(y')/sqrt(y)$
Sostituisco nell'equazione di partenza ed ottengo:
$z'+x/(1-x^2)z=(2x)/(1-x^2)$
Applica la formula per calcolarmi $z(x)$ ottenendo quindi questo:
$z(x)=e^(-int(x/(1-x^2))dx)[c_1+int((2x)/(1-x^2)e^(int(x/(1-x^2))dx)) dx];$
inizio a svolgerlo e ottengo:
$z(x)=e^(1/2ln|1-x^2|)[c_1+int (2x)/(1-x^2)e^(-1/2ln|1-x^2|) dx]$
da cui:
$z(x)=e^(lnsqrt(|1-x^2|))[c_1+int(2x)/(1-x^2)|1-x^2|^(-1/2)dx]$
poi ho continuato a risolvere l'espressione tralasciando i valori assoluti:
$z(x)=e^(lnsqrt(1-x^2))[c_1+int(2x)*(1-x^2)^(-1)*(1-x^2)^(-1/2)dx]$
da cui:
$z(x)=e^(lnsqrt(1-x^2))[c_1+int(2x)*(1-x^2)^(-3/2)dx]$
successivamente ho risolto l'integrale dentro le parentesi quadre:
$z(x)=e^(lnsqrt(1-x^2))[c_1+2/sqrt(1-x^2) ]$
semplificando l'esponenziale iniziale con il logaritmo ho ottenuto:
$z(x)=sqrt(1-x^2)[c_1+2/sqrt(1-x^2) ]$
quindi:
$z(x)=[sqrt(1-x^2)c_1+2]$
e tornado alla y(x) ottengo
$y(x)=(1-x^2)c_1 + 4c_1-1sqrt(1-x^2)$
Verificando con wolfram alpha il risultato per capire se avevo fatto bene o no, mi porta questo:
$y(x)=(x^2-1)c_1 + 4c_1-1sqrt(x^2-1)$
Quello che volevo chiedere è:
Posso eliminare il valore assoluto come ho fatto, oppure devo cambiare i segni (cambiandoli mi troverei con il risultato)? oppure devo separare i casi di quando il valore assoluto è minore e maggiore di 0, ma a questo punto poi dovrei avere due risultati, e wolfram ne porta uno solo!
Aiutatemi per favore
$y'=((-2x)/(1-x^2))y+(4x)/(1-x^2)sqrt(y)$
Procedo con la risoluzione in questo modo:
$sqrt(y)=z$
$z'=(1/(2sqrt(y))y')$
$2z'=(y')/sqrt(y)$
Sostituisco nell'equazione di partenza ed ottengo:
$z'+x/(1-x^2)z=(2x)/(1-x^2)$
Applica la formula per calcolarmi $z(x)$ ottenendo quindi questo:
$z(x)=e^(-int(x/(1-x^2))dx)[c_1+int((2x)/(1-x^2)e^(int(x/(1-x^2))dx)) dx];$
inizio a svolgerlo e ottengo:
$z(x)=e^(1/2ln|1-x^2|)[c_1+int (2x)/(1-x^2)e^(-1/2ln|1-x^2|) dx]$
da cui:
$z(x)=e^(lnsqrt(|1-x^2|))[c_1+int(2x)/(1-x^2)|1-x^2|^(-1/2)dx]$
poi ho continuato a risolvere l'espressione tralasciando i valori assoluti:
$z(x)=e^(lnsqrt(1-x^2))[c_1+int(2x)*(1-x^2)^(-1)*(1-x^2)^(-1/2)dx]$
da cui:
$z(x)=e^(lnsqrt(1-x^2))[c_1+int(2x)*(1-x^2)^(-3/2)dx]$
successivamente ho risolto l'integrale dentro le parentesi quadre:
$z(x)=e^(lnsqrt(1-x^2))[c_1+2/sqrt(1-x^2) ]$
semplificando l'esponenziale iniziale con il logaritmo ho ottenuto:
$z(x)=sqrt(1-x^2)[c_1+2/sqrt(1-x^2) ]$
quindi:
$z(x)=[sqrt(1-x^2)c_1+2]$
e tornado alla y(x) ottengo
$y(x)=(1-x^2)c_1 + 4c_1-1sqrt(1-x^2)$
Verificando con wolfram alpha il risultato per capire se avevo fatto bene o no, mi porta questo:
$y(x)=(x^2-1)c_1 + 4c_1-1sqrt(x^2-1)$
Quello che volevo chiedere è:
Posso eliminare il valore assoluto come ho fatto, oppure devo cambiare i segni (cambiandoli mi troverei con il risultato)? oppure devo separare i casi di quando il valore assoluto è minore e maggiore di 0, ma a questo punto poi dovrei avere due risultati, e wolfram ne porta uno solo!
Aiutatemi per favore
Risposte
Intanto all'inizio devi supporre che sia $yne0$ e poi trattare a parte il caso $y=0$ alla fine, sennò non può dividere per $sqrty$ in modo da ricondurti ad una equazione equivalente in $z$. Appurato questo.
Il valore assoluto non puoi scioglierlo così come se non comportasse nulla.
$1-x^2geq0forall-1leqxleq1$
Per tutte le altre $x$ avresti che il radicando darebbe problemi di definizione, cosa che non crea invece se considerato dentro il modulo. Che difatti è positivo sempre e comunque. Dunque l'integrale da risolvere è:
$int(2x)/(1-x^2)*1/sqrt(|1-x^2|)dx$
Non è difficile, anzi. Quando c'è un valore assoluto, ci si deve ricondurre per la maggior parte delle volte alla funzione 'segno'. Nota che $xnepm1$, questo sarà fondamentale per un passaggio.
Potresti fare tutto senza sostituzione, ma facciamone due in modo da concentrarci più sul ragionamento che sui calcoli:
$x^2=t <=> 2xdx=dt$ e poi $1-t=u <=> dt=-du$
Puoi controllare che le seguenti sostituzioni portano al seguente integrale:
$-int1/(usqrt(|u|))du$ con $tne1$ e $une0$
Ora moltiplico e divido per $sqrtu$
$-int1/(usqrtu)*sqrt(u/|u|)du=-intu^(-3/2)*sqrt(sgn (u))du$
Ora essendo $une0$ la derivata della funzione segno vale $0$ ovunque. Dunque integriamo per parti, derivando la radice che ha per radicando la funzione segno. Dalle regole di derivazione, dopo aver derivato la radice, dovremmo derivare la funzione segno che fa appunto $0$, dunque:
$-(u^(-3/2+1)/(-3/2+1)*sqrt(sign(u))-int0du)$
$2sqrt((sgn(u))/u)+c=2/sqrt(|u|)+c$
Ovvero $2/sqrt(|1-x^2|)+c$
Lascio a te concludere, se hai bisogno chiedi.
Il valore assoluto non puoi scioglierlo così come se non comportasse nulla.
$1-x^2geq0forall-1leqxleq1$
Per tutte le altre $x$ avresti che il radicando darebbe problemi di definizione, cosa che non crea invece se considerato dentro il modulo. Che difatti è positivo sempre e comunque. Dunque l'integrale da risolvere è:
$int(2x)/(1-x^2)*1/sqrt(|1-x^2|)dx$
Non è difficile, anzi. Quando c'è un valore assoluto, ci si deve ricondurre per la maggior parte delle volte alla funzione 'segno'. Nota che $xnepm1$, questo sarà fondamentale per un passaggio.
Potresti fare tutto senza sostituzione, ma facciamone due in modo da concentrarci più sul ragionamento che sui calcoli:
$x^2=t <=> 2xdx=dt$ e poi $1-t=u <=> dt=-du$
Puoi controllare che le seguenti sostituzioni portano al seguente integrale:
$-int1/(usqrt(|u|))du$ con $tne1$ e $une0$
Ora moltiplico e divido per $sqrtu$
$-int1/(usqrtu)*sqrt(u/|u|)du=-intu^(-3/2)*sqrt(sgn (u))du$
Ora essendo $une0$ la derivata della funzione segno vale $0$ ovunque. Dunque integriamo per parti, derivando la radice che ha per radicando la funzione segno. Dalle regole di derivazione, dopo aver derivato la radice, dovremmo derivare la funzione segno che fa appunto $0$, dunque:
$-(u^(-3/2+1)/(-3/2+1)*sqrt(sign(u))-int0du)$
$2sqrt((sgn(u))/u)+c=2/sqrt(|u|)+c$
Ovvero $2/sqrt(|1-x^2|)+c$
Lascio a te concludere, se hai bisogno chiedi.
Premetto che ho capito come hai ottenuto il valore assoluto al risultato tramite le sostituzioni, ma è sempre possibile applicare questo ragionamento? e sopratutto per non dilungarmi con i calcoli, non posso pensare di applicare il valore assoluto solo al risultato finale dell'integrale, risolvendolo come se non ci fosse?
Per quanto riguarda l'esercizio, l'unica conclusione che riesco ad ottenere è che (considerando a questo punto anche il valore assoluto di $e^lnsqrt(|1-x^2|)$:
$z(x)=sqrt(|1-x^2|)[c_1+2/sqrt(|1-x^2|) ]$
da cui:
$z(x)=sqrt(|1-x^2|)c_1 + 2$ e quindi.
$y(x)= |1-x^2|(c_1)^2 + 4 +4c_1sqrt(|1-x^2|)$
(nel primo messaggio avevo sbagliato a scrivere, walframe si trovava: $y(x)= (x^2-1)(c_1)^2 + 4 +4c_1sqrt(x^2-1)$
ma non riesco a trovare il nesso fra i due risultati
Puoi continuare ad aiutarmi 
?
Per quanto riguarda l'esercizio, l'unica conclusione che riesco ad ottenere è che (considerando a questo punto anche il valore assoluto di $e^lnsqrt(|1-x^2|)$:
$z(x)=sqrt(|1-x^2|)[c_1+2/sqrt(|1-x^2|) ]$
da cui:
$z(x)=sqrt(|1-x^2|)c_1 + 2$ e quindi.
$y(x)= |1-x^2|(c_1)^2 + 4 +4c_1sqrt(|1-x^2|)$
(nel primo messaggio avevo sbagliato a scrivere, walframe si trovava: $y(x)= (x^2-1)(c_1)^2 + 4 +4c_1sqrt(x^2-1)$
ma non riesco a trovare il nesso fra i due risultati
Puoi continuare ad aiutarmi ?
"Genny_it":
l'equazione è tratta da un problema di cauchy ed è la seguente:
$y'=((-2x)/(1-x^2))y+(4x)/(1-x^2)sqrt(y)$
Procedo con la risoluzione in questo modo:
$sqrt(y)=z$
$z'=(1/(2sqrt(y))y')$
$2z'=(y')/sqrt(y)$
Sostituisco nell'equazione di partenza ed ottengo:
$z'+x/(1-x^2)z=(2x)/(1-x^2)$
Applica la formula per calcolarmi $z(x)$ ottenendo quindi questo:
$z(x)=e^(-int(x/(1-x^2))dx)[c_1+int((2x)/(1-x^2)e^(int(x/(1-x^2))dx)) dx];$
inizio a svolgerlo e ottengo:
$z(x)=e^(1/2ln|1-x^2|)[c_1+int (2x)/(1-x^2)e^(-1/2ln|1-x^2|) dx]$
da cui:
$z(x)=e^(lnsqrt(|1-x^2|))[c_1+int(2x)/(1-x^2)|1-x^2|^(-1/2)dx]$
poi ho continuato a risolvere l'espressione tralasciando i valori assoluti:
$z(x)=e^(lnsqrt(1-x^2))[c_1+int(2x)*(1-x^2)^(-1)*(1-x^2)^(-1/2)dx]$
Nel penultimo passaggio tu stesso hai il valore assoluto nell'equazione, quindi non l'ho fatto saltare fuori.
Ho sostituito l'interno del valore assoluto, sfruttando il fatto che ci fosse il fattore $2x$ libero.
Il valore assoluto è scomodo negli integrali, ma non puoi far finta che non ci sia, perché ti cambia tutto il dominio della funzione integranda.
Il ragionamento di derivare la funzione segno si può applicare solo se escludi dal dominio(o come in questo caso che era già escluso) il punto in cui si annulla l'argomento della funzione segno.
Purtroppo ora non ho come continuare, stasera appena torno vedo di aiutarti.
sisi tranquillo non ho fretta 
e grazie ancora
e grazie ancora
$y'=((-2x)/(1-x^2))y+((4x)/(1-x^2))sqrt(y)$
intanto notiamo che il dominio della equazione differenziale è: ${(ygeq0),(xnepm1):}$
allora.. tu giustamente hai iniziato cercando una buona sostituzione
$z=sqrty => z'=(y')/(2sqrty)$
ora per ottenere qualcosa di utile, devo dividere per $sqrty$ ma per fare questo devo imporre almeno per adesso che sia $yne0$ poiché non potremmo dividere per $0$
$(y')/(2sqrty)+(x)/(1-x^2)y/sqrty=(2x)/(1-x^2)$
$z'+(x)/(1-x^2)z=(2x)/(1-x^2)$
dunque ci siamo ricondotti ad una equazione del tipo $z'+a(x)z=b(x)$ adesso calcoliamo $inta(x)dx$ così da poter moltiplicare tutto per il nostro fattore integrante
$intx/(1-x^2)dx=-1/2int(-2x)/(1-x^2)dx=-1/2ln|1-x^2|$
dunque l'equazione diventa $z'*e^(-1/2ln|1-x^2|)+(x)/(1-x^2)z*e^(-1/2ln|1-x^2|)=(2x)/(1-x^2)*e^(-1/2ln|1-x^2|)$
integriamo adesso ambo i membri della equazione ottenendo:
$z*e^(-1/2ln|1-x^2|)=int(2x)/(1-x^2)*e^(-1/2ln|1-x^2|)dx+c$
ora naturalmente $e^(-1/2ln|1-x^2|)=1/sqrt(|1-x^2|), forallxnepm1$
Nota che se sciogliessimo il valore assoluto così come se nulla fosse, andremmo incontro a problemi di definizione non da nulla.
Infatti il radicando attualmente è $|1-x^2|$ che è una quantità soltanto positiva(o nulla, ma abbiamo escluso i casi in cui si annulla), mentre se sciogliessimo il valore assoluto dovremmo togliere dal dominio dell'equazione tutte quelle $x inRR:x>1wedgex<-1$ poiché per quelle $x$ otterremmo un radicando negativo, cosa non ammessa su $RR$. Naturalmente puoi anche considerare due equazioni in due diversi domini e trattare i due casi separatamente.
$z=sqrt(|1-x^2|)[int(2x)/(1-x^2)*1/sqrt(|1-x^2|)dx+c]$
ora ci concentriamo sull'integrale. Noto che $2x$ è la derivata di $x^2$ e quindi pongo tranquillamente la seguente sostituzione: $t=x^2 <=> dt=2xdx$ e sostituisco tutto nell'integrale
$int1/(1-t)*1/sqrt(|1-t|)dt$ applico la sostituzione $1-t=u <=> -dt=du$
$-int1/(usqrt(|u|))du$ allora ora andiamo a vedere come è combinata la situazione.
$t=x^2$ dunque $tgeq0wedgetne1$ e $u=1-t$ con $une0$ notiamo che:
$u<0 forallt>1wedgeu>0forall0leqt<1$
ora mi comporto in questa maniera $1/(usqrt(|u|))=(|u|)/(u|u|sqrt(|u|))=sqrt(u^2)/(u|u|sqrt(|u|)$
$1/(u|u|)*sqrt(u^2/|u|)=1/(u|u|)*sqrt(usign(u))=u/(u^2|u|sqrt(usign(u)))=1/u^2*sign(u)sqrt(usign(u))$
dunque l'integrale diventa $int(1/u^2*sign(u)sqrt(usign(u)))du$
nota che il 'nuovo' integrale ha esattamente lo stesso dominio di quello vecchio.
Decido di integrare per parti, in particolare integro $1/u^2$ e derivo il resto.
NB: la funzione segno dove è derivabile, la derivata è $0$. L'unico punto in cui non è derivabile è il punto in cui si annulla l'argomento della funzione segno. Nota che si annulla per $u=0$ che è escluso dal dominio, quindi possiamo derivarla tranquillamente sapendo che comunque la derivata farà $0$. Questa importante proprietà ci permette di risolvere agevolmente una buona parte degli integrali che contengono un modulo.
$(-1/u)sign(u)sqrt(usign(u))+int1/u*(0+(sign(u))/(2sqrt(usign(u)))*(sign(u)+u*0))du$
ora fuori dal segno di integrazione abbiamo:
$(-1/u)*(u/|u|)*sqrt(|u|)=(-1/|u|)*sqrt(|u|)=-1/sqrt(|u|)$
mentre dentro il segno di integrazione abbiamo:
$1/2int1/(usqrt(|u|)$ nota che questo è esattamente la metà dell'integrale di partenza. Infatti possiamo, attraversa la catena di uguaglianze, uguagliare l'ultima con la prima ottenendo:
$int1/(usqrt(|u|))du=-1/sqrt(|u|)+1/2int1/(usqrt(|u|)du$
quì facilmente si porta a sinistra l'integrale con $1/2$ e svolgendo i semplici passaggi si ottiene che la seguente uguaglianza
$int1/(usqrt(|u|))du=-2/sqrt(|u|)+c$ dunque $-int1/(usqrt(|u|))du=2/sqrt(|u|)+c$
$int1/((1-t)sqrt(|1-t|))dt=2/sqrt(|1-t|)+c$
$int(2x)/((1-x^2)sqrt(|1-x^2|))dx=2/sqrt(|1-x^2|)+c$
ora che finalmente è finito l'integrale, sostituiamo il tutto nell'equazione differenziale
$z=sqrt(|1-x^2|)[2/sqrt(|1-x^2|)+c]$ ovvero $z=2+c*sqrt(|1-x^2|)$
adesso possiamo passare a $z=sqrty<=> y=z^2=(2+c*sqrt(|1-x^2|))^2$
non so perchè Wolfram si trovi la stessa senza i valori assoluti, perché non penso di aver dimenticato qualcosa. Anche perché così continuiamo a mantenerci tutto il nostro bel dominio.
Ora abbiamo due cose di cui tener conto. Ovvero che deve essere $y>0$ e poi dobbiamo valutare il caso $y=0$ se è possibile o meno. Da subito possiamo dire che se $cgeq0$ allora $y>0$ poiché se $c=0$ otteniamo banalmente $f(x)=4$. Mentre se $c>0$ otteniamo una somma di 'cose' positive che è positiva.
Rimane l'ultima cosa da valutare ma devo scendere ahahahaha spero di non aver cancellato pezzi per sbaglio o fatto errori per il LaTeX. Per qualunque cosa, chiedi pure. 
intanto notiamo che il dominio della equazione differenziale è: ${(ygeq0),(xnepm1):}$
allora.. tu giustamente hai iniziato cercando una buona sostituzione
$z=sqrty => z'=(y')/(2sqrty)$
ora per ottenere qualcosa di utile, devo dividere per $sqrty$ ma per fare questo devo imporre almeno per adesso che sia $yne0$ poiché non potremmo dividere per $0$
$(y')/(2sqrty)+(x)/(1-x^2)y/sqrty=(2x)/(1-x^2)$
$z'+(x)/(1-x^2)z=(2x)/(1-x^2)$
dunque ci siamo ricondotti ad una equazione del tipo $z'+a(x)z=b(x)$ adesso calcoliamo $inta(x)dx$ così da poter moltiplicare tutto per il nostro fattore integrante
$intx/(1-x^2)dx=-1/2int(-2x)/(1-x^2)dx=-1/2ln|1-x^2|$
dunque l'equazione diventa $z'*e^(-1/2ln|1-x^2|)+(x)/(1-x^2)z*e^(-1/2ln|1-x^2|)=(2x)/(1-x^2)*e^(-1/2ln|1-x^2|)$
integriamo adesso ambo i membri della equazione ottenendo:
$z*e^(-1/2ln|1-x^2|)=int(2x)/(1-x^2)*e^(-1/2ln|1-x^2|)dx+c$
ora naturalmente $e^(-1/2ln|1-x^2|)=1/sqrt(|1-x^2|), forallxnepm1$
Nota che se sciogliessimo il valore assoluto così come se nulla fosse, andremmo incontro a problemi di definizione non da nulla.
Infatti il radicando attualmente è $|1-x^2|$ che è una quantità soltanto positiva(o nulla, ma abbiamo escluso i casi in cui si annulla), mentre se sciogliessimo il valore assoluto dovremmo togliere dal dominio dell'equazione tutte quelle $x inRR:x>1wedgex<-1$ poiché per quelle $x$ otterremmo un radicando negativo, cosa non ammessa su $RR$. Naturalmente puoi anche considerare due equazioni in due diversi domini e trattare i due casi separatamente.
$z=sqrt(|1-x^2|)[int(2x)/(1-x^2)*1/sqrt(|1-x^2|)dx+c]$
ora ci concentriamo sull'integrale. Noto che $2x$ è la derivata di $x^2$ e quindi pongo tranquillamente la seguente sostituzione: $t=x^2 <=> dt=2xdx$ e sostituisco tutto nell'integrale
$int1/(1-t)*1/sqrt(|1-t|)dt$ applico la sostituzione $1-t=u <=> -dt=du$
$-int1/(usqrt(|u|))du$ allora ora andiamo a vedere come è combinata la situazione.
$t=x^2$ dunque $tgeq0wedgetne1$ e $u=1-t$ con $une0$ notiamo che:
$u<0 forallt>1wedgeu>0forall0leqt<1$
ora mi comporto in questa maniera $1/(usqrt(|u|))=(|u|)/(u|u|sqrt(|u|))=sqrt(u^2)/(u|u|sqrt(|u|)$
$1/(u|u|)*sqrt(u^2/|u|)=1/(u|u|)*sqrt(usign(u))=u/(u^2|u|sqrt(usign(u)))=1/u^2*sign(u)sqrt(usign(u))$
dunque l'integrale diventa $int(1/u^2*sign(u)sqrt(usign(u)))du$
nota che il 'nuovo' integrale ha esattamente lo stesso dominio di quello vecchio.
Decido di integrare per parti, in particolare integro $1/u^2$ e derivo il resto.
NB: la funzione segno dove è derivabile, la derivata è $0$. L'unico punto in cui non è derivabile è il punto in cui si annulla l'argomento della funzione segno. Nota che si annulla per $u=0$ che è escluso dal dominio, quindi possiamo derivarla tranquillamente sapendo che comunque la derivata farà $0$. Questa importante proprietà ci permette di risolvere agevolmente una buona parte degli integrali che contengono un modulo.
$(-1/u)sign(u)sqrt(usign(u))+int1/u*(0+(sign(u))/(2sqrt(usign(u)))*(sign(u)+u*0))du$
ora fuori dal segno di integrazione abbiamo:
$(-1/u)*(u/|u|)*sqrt(|u|)=(-1/|u|)*sqrt(|u|)=-1/sqrt(|u|)$
mentre dentro il segno di integrazione abbiamo:
$1/2int1/(usqrt(|u|)$ nota che questo è esattamente la metà dell'integrale di partenza. Infatti possiamo, attraversa la catena di uguaglianze, uguagliare l'ultima con la prima ottenendo:
$int1/(usqrt(|u|))du=-1/sqrt(|u|)+1/2int1/(usqrt(|u|)du$
quì facilmente si porta a sinistra l'integrale con $1/2$ e svolgendo i semplici passaggi si ottiene che la seguente uguaglianza
$int1/(usqrt(|u|))du=-2/sqrt(|u|)+c$ dunque $-int1/(usqrt(|u|))du=2/sqrt(|u|)+c$
$int1/((1-t)sqrt(|1-t|))dt=2/sqrt(|1-t|)+c$
$int(2x)/((1-x^2)sqrt(|1-x^2|))dx=2/sqrt(|1-x^2|)+c$
ora che finalmente è finito l'integrale, sostituiamo il tutto nell'equazione differenziale
$z=sqrt(|1-x^2|)[2/sqrt(|1-x^2|)+c]$ ovvero $z=2+c*sqrt(|1-x^2|)$
adesso possiamo passare a $z=sqrty<=> y=z^2=(2+c*sqrt(|1-x^2|))^2$
$f(x)=4+4csqrt(|1-x^2|)+c^2|1-x^2|$
non so perchè Wolfram si trovi la stessa senza i valori assoluti, perché non penso di aver dimenticato qualcosa. Anche perché così continuiamo a mantenerci tutto il nostro bel dominio.
Ora abbiamo due cose di cui tener conto. Ovvero che deve essere $y>0$ e poi dobbiamo valutare il caso $y=0$ se è possibile o meno. Da subito possiamo dire che se $cgeq0$ allora $y>0$ poiché se $c=0$ otteniamo banalmente $f(x)=4$. Mentre se $c>0$ otteniamo una somma di 'cose' positive che è positiva.
Rimane l'ultima cosa da valutare ma devo scendere
ahahahaha spero di non aver cancellato pezzi per sbaglio o fatto errori per il LaTeX. Per qualunque cosa, chiedi pure.
Premetto che ti ringrazio moltissimo, per il tempo dedicatomi, credo di aver capito ma mi resta solo un piccolo dubbio che forse si rivelerà pure una sciocchezza:
Alcune formule sono di questo tipo portando la costante $c_1$
$ z(x)=e^(-int(x/(1-x^2))dx)[c_1+int((2x)/(1-x^2)e^(int(x/(1-x^2))dx)) dx]; $
quindi: riprendendo i tuoi risultati, sarebbe così:
$z=sqrt(|1-x^2|)[c_1+2/sqrt(|1-x^2|)+c]$
la costante $c1$ e $c$ sono la stessa cosa giusto?
ma mi resta solo un piccolo dubbio che forse si rivelerà pure una sciocchezza:"anto_zoolander":
$z=sqrt(|1-x^2|)[2/sqrt(|1-x^2|)+c]$ ovvero $z=2+c*sqrt(|1-x^2|)$
adesso possiamo passare a $z=sqrty<=> y=z^2=(2+c*sqrt(|1-x^2|))^2$
$f(x)=4+4csqrt(|1-x^2|)+c^2|1-x^2|$
Alcune formule sono di questo tipo portando la costante $c_1$
$ z(x)=e^(-int(x/(1-x^2))dx)[c_1+int((2x)/(1-x^2)e^(int(x/(1-x^2))dx)) dx]; $
quindi: riprendendo i tuoi risultati, sarebbe così:
$z=sqrt(|1-x^2|)[c_1+2/sqrt(|1-x^2|)+c]$
la costante $c1$ e $c$ sono la stessa cosa giusto?
Figurati
La costante che c'è lì dentro, è quella che già considero dell'integrale.
In ogni caso anche avendo
$c_1+c_2$ le puoi chiamare $c_1+c_2=c$
In generale somma di cose arbitrarie è arbitraria, quindi.
"anto_zoolander":
$ z=sqrt(|1-x^2|)[int(2x)/(1-x^2)*1/sqrt(|1-x^2|)dx+c] $
La costante che c'è lì dentro, è quella che già considero dell'integrale.
In ogni caso anche avendo
$c_1+c_2$ le puoi chiamare $c_1+c_2=c$
In generale somma di cose arbitrarie è arbitraria, quindi.
Va bene grazie per adesso non ho ulteriori domande 
per adesso non ho ulteriori domande
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