Equazione differenziale del primo ordine
Allora dovrei risolvere l'equazione differenziale:
$y'(e^{2x}+3)+y^{2}e^{3x}=e^{3x}$
Con alcuni passaggi ho ottenuto che l'equazione considerata è un'equazione a variabili separabili:
$y'=\frac{e^{3x}}{e^{2x}+3}(1-y^{2})$
Ora mi è venuto un dubbio.
Procedo sempre portando i termini in y a destra e quelli in x a sinistra e poi integro?
Scusate ma non sono espertissimo di equazioni differenziali.
$y'(e^{2x}+3)+y^{2}e^{3x}=e^{3x}$
Con alcuni passaggi ho ottenuto che l'equazione considerata è un'equazione a variabili separabili:
$y'=\frac{e^{3x}}{e^{2x}+3}(1-y^{2})$
Ora mi è venuto un dubbio.
Procedo sempre portando i termini in y a destra e quelli in x a sinistra e poi integro?
Scusate ma non sono espertissimo di equazioni differenziali.
Risposte
Siccome ti vedo un po' confuso (e un po' verso il lato cattivo delle ODE) ti consiglio di leggerti le dispense del nostro moderatore (ex cattivissimo) http://www.diptem.unige.it/patrone/equa ... _intro.htm
Credo che tu debba avere anche delle condizioni sulla x, a meno che x sia una variabile muta ($y=y(x)$ per intenderci).
Ovviamente per una soluzione particolare servono dei dati iniziali.
Per il resto si, è come dici: $y'=f(y)g(x) => (y')/f(y)=g(x)$ e si procede con l'integrale tra $t_0$ e $t$ (o $x_0$ e $x$).
Ovviamente per una soluzione particolare servono dei dati iniziali.
Per il resto si, è come dici: $y'=f(y)g(x) => (y')/f(y)=g(x)$ e si procede con l'integrale tra $t_0$ e $t$ (o $x_0$ e $x$).
vict grazie per il file ^^
allora mi sono buttato nei calcoli ....
$\int\frac{1}{1-y^{2}}dy=\int\frac{e^{3x}}{e^{2x}+3}dx$
Dopo la scomposizione in fratti semplici al primo membro e alcuni passaggi arrivo alla forma:
$\log\sqrt{(\frac{1+y}{1-y})}=\int e^{x}dx-3\int\frac{e^{x}}{e^{2x}+3}dx$
Dopo un paio di sostituzioni arrivo a:
$\log\sqrt{(\frac{1+y}{1-y})}=e^{x}-\sqrt{3}\arctan(\frac{e^{x}}{\sqrt{3}})+C$
Quindi dopo qualche altro passaggio mi ritrovo con:
$y(x)=\frac{[Ce^{e^{x}-\sqrt{3}\arctan(\frac{e^{x}}{\sqrt{3}})}]^{2}-1}{[Ce^{e^{x}-\sqrt{3}\arctan(\frac{e^{x}}{\sqrt{3}})}]^{2}+1}$
Ragà anche se ho sbgliato non mi menate almeno per la fatica che ho fatto a scrivere l'ultima
$\int\frac{1}{1-y^{2}}dy=\int\frac{e^{3x}}{e^{2x}+3}dx$
Dopo la scomposizione in fratti semplici al primo membro e alcuni passaggi arrivo alla forma:
$\log\sqrt{(\frac{1+y}{1-y})}=\int e^{x}dx-3\int\frac{e^{x}}{e^{2x}+3}dx$
Dopo un paio di sostituzioni arrivo a:
$\log\sqrt{(\frac{1+y}{1-y})}=e^{x}-\sqrt{3}\arctan(\frac{e^{x}}{\sqrt{3}})+C$
Quindi dopo qualche altro passaggio mi ritrovo con:
$y(x)=\frac{[Ce^{e^{x}-\sqrt{3}\arctan(\frac{e^{x}}{\sqrt{3}})}]^{2}-1}{[Ce^{e^{x}-\sqrt{3}\arctan(\frac{e^{x}}{\sqrt{3}})}]^{2}+1}$
Ragà anche se ho sbgliato non mi menate almeno per la fatica che ho fatto a scrivere l'ultima
Secondo voi questa soluzione è quella giusta? oppure ho combinato una macelleria?
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