Equazione differenziale del primo ordine
Allora oggi mi sono ritrovato con questa equazione differenziale .... premetto che non ne ho risolte moltissime ....
$2y'=-\frac{y}{x}+y^{3}\log x$
Allora per prima cosa ho osservato che se y1 è la soluzione dell'equazione differenziale $2y'=-\frac{y}{x}$ e y2 è la soluzione di $2y'=y^{3}\log x$ allora
y1+y2 è la soluzione dell'equazione differenziale inizialmente considerata.
Quindi ho ottenuto due equazioni differenziali del primo ordine omogenee alle quali applico il metodo formale per ottenere la soluzione generale.
Dalla prima si ottiene:
$\int\frac{1}{y}dy=-\frac{1}{2}\int\frac{1}{x}dx$
$\log|y(x)|=-\frac{1}{2}\log|x|+C$
$y(x)=Ce^{-\frac{1}{2}\log|x|}=C\sqrt{|x|}$
Poi dalla seconda si ottiene che:
$\int\frac{1}{y^{3}}dy=\frac{1}{2}\int\log xdx$
$y=\pm\sqrt{\frac{1}{x-C-x\log x}}$
Quindi la soluzione dell'equazione differenziale inzialmente considerata è:
$y=y_{1}+y_{2}=C_{1}\sqrt{|x|}\pm\sqrt{(\frac{1}{x-C_{2}-x\log x})}$
A dire il vero è la prima volta che ottengo una soluzione del genere ed ho seri dubbi su quello che ho fatto.
Voi che ne pensate?
$2y'=-\frac{y}{x}+y^{3}\log x$
Allora per prima cosa ho osservato che se y1 è la soluzione dell'equazione differenziale $2y'=-\frac{y}{x}$ e y2 è la soluzione di $2y'=y^{3}\log x$ allora
y1+y2 è la soluzione dell'equazione differenziale inizialmente considerata.
Quindi ho ottenuto due equazioni differenziali del primo ordine omogenee alle quali applico il metodo formale per ottenere la soluzione generale.
Dalla prima si ottiene:
$\int\frac{1}{y}dy=-\frac{1}{2}\int\frac{1}{x}dx$
$\log|y(x)|=-\frac{1}{2}\log|x|+C$
$y(x)=Ce^{-\frac{1}{2}\log|x|}=C\sqrt{|x|}$
Poi dalla seconda si ottiene che:
$\int\frac{1}{y^{3}}dy=\frac{1}{2}\int\log xdx$
$y=\pm\sqrt{\frac{1}{x-C-x\log x}}$
Quindi la soluzione dell'equazione differenziale inzialmente considerata è:
$y=y_{1}+y_{2}=C_{1}\sqrt{|x|}\pm\sqrt{(\frac{1}{x-C_{2}-x\log x})}$
A dire il vero è la prima volta che ottengo una soluzione del genere ed ho seri dubbi su quello che ho fatto.
Voi che ne pensate?
Risposte
attento che questa non è un'equazione lineare (infati compare un y^3), quindi quel metodo non può funzionare. mi sembra un'equazione di bernoulli, prova a dividere per y^3 e poi fai la sosituzione opportuna
ok enr ora provo ...vediamo che succede
Che stai dicendo una grossa fesseria: la cosa che affermi delle somme di soluzioni che continuano ad essere tali vale se l'equazione è lineare! Questa invece è non lineare (la potenza $y^3$ non è una funzione lineare) quindi non puoi lavorare in questo modo.
L'equazione che tenti di risolvere è una equazione di Bernoulli (sono quelle della forma $y'+a(x) y=b(x) y^\alpha$).
L'equazione che tenti di risolvere è una equazione di Bernoulli (sono quelle della forma $y'+a(x) y=b(x) y^\alpha$).
grazie ciamp ^^ ... solo che sul testo da cui sto studiando non c'è traccia di qesto tipo di equazioni e mi sono buttato in una risoluzione di fortuna ......
mi sapreste dire come posso procedere?
mi sapreste dire come posso procedere?
L'equazione [tex]$y'+a(x)\ y=b(x)\ y^\alpha$[/tex] si risolve ponendo [tex]$y=z^{1/(1-\alpha)}$[/tex] che permette di trasformare l'equazione in una lineare. Infatti [tex]$y'=\frac{1}{1-\alpha} z^{\alpha/(1-\alpha)} z'$[/tex] per cui
[tex]$\frac{1}{1-\alpha} z^{\alpha/(1-\alpha)} z'+a(x)\ z^{1/(1-\alpha)}=b(x)\ z^{\alpha/(1-\alpha)}$[/tex]
[tex]$z'+\frac{a(x)}{1-\alpha}\ z=\frac{b(x)}{1-\alpha}$[/tex]
che risulta lineare. (Nota che $\alpha\ne 1$).
[tex]$\frac{1}{1-\alpha} z^{\alpha/(1-\alpha)} z'+a(x)\ z^{1/(1-\alpha)}=b(x)\ z^{\alpha/(1-\alpha)}$[/tex]
[tex]$z'+\frac{a(x)}{1-\alpha}\ z=\frac{b(x)}{1-\alpha}$[/tex]
che risulta lineare. (Nota che $\alpha\ne 1$).
grande ciampax .... termino e posto la soluzione .. vediamo se oggi ho capito qualcosa di nuovo ^^
allora credo di aver capito il metodo ^^... dopo le opportune sostituzioni arrivo alla forma:
$\omega'-\omega\frac{1}{x}=-\log x$
Ora quindi devo determinare la soluzione di un'equazione differenziale lineare del primo ordine.
Considero prima l'omogenea associata ed ottengo:
$\int\frac{1}{\omega}d\omega=\int\frac{1}{x}dx$
$\omega(x)=Ce^{\log|x|}$
Successivamente considero l'equazione non omogenea e determino una soluzione particolare.
Procedo con il metodo della variazione delle costante.
Con $y(x)=K(x)e^{log|x|}$ ottengo:
$K(x)=-\int\frac{\log x}{|x|}dx$
L'unico mio problema è come calcolare questo integrale -_-' ... non ho mai trovato un'integranda così .... qualcuno sa darmi consigli su come procedere?
$\omega'-\omega\frac{1}{x}=-\log x$
Ora quindi devo determinare la soluzione di un'equazione differenziale lineare del primo ordine.
Considero prima l'omogenea associata ed ottengo:
$\int\frac{1}{\omega}d\omega=\int\frac{1}{x}dx$
$\omega(x)=Ce^{\log|x|}$
Successivamente considero l'equazione non omogenea e determino una soluzione particolare.
Procedo con il metodo della variazione delle costante.
Con $y(x)=K(x)e^{log|x|}$ ottengo:
$K(x)=-\int\frac{\log x}{|x|}dx$
L'unico mio problema è come calcolare questo integrale -_-' ... non ho mai trovato un'integranda così .... qualcuno sa darmi consigli su come procedere?
mi sembra facile con una sostituzione.. stai attento a quale dei due fattori differenziare
allora enr ...grazie per il consiglio .... il valore assoluto mi aveva sconvolto ..... allora per quanto riguarda la sostituzione ho pensato di porre $z=\log x$
e quindi ottengo che:
$x=e^{z}$ -------------> $\frac{dx}{dz}=e^{z}$ ----------> $dx=e^{z}dz$
Quindi sostituendo ottengo che:
$K(x)=\int\frac{z}{|e^{z}|}e^{z}dz$
Posso poi osservare che essendo la funzione esponenziale sempre positiva allora risulta che:
$K(x)=\int\frac{z}{e^{z}}e^{z}dz=\int zdz=\frac{z^{2}}{2}$
Io ci ho provato ....... che ne dite?
e quindi ottengo che:
$x=e^{z}$ -------------> $\frac{dx}{dz}=e^{z}$ ----------> $dx=e^{z}dz$
Quindi sostituendo ottengo che:
$K(x)=\int\frac{z}{|e^{z}|}e^{z}dz$
Posso poi osservare che essendo la funzione esponenziale sempre positiva allora risulta che:
$K(x)=\int\frac{z}{e^{z}}e^{z}dz=\int zdz=\frac{z^{2}}{2}$
Io ci ho provato ....... che ne dite?
oddio, sì va bene, ma potevi accorgerti che ponendo $log x = z$, allora $dz = 1/|x| dx$.
ti saresti risparmiato un paio di passaggi!
ti saresti risparmiato un paio di passaggi!
evvaiiii .. grazie di tutto stasera mi sento più intel 
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