Equazione differenziale del II ordine
Ciao a tutti,
Mi sono ritrovato a fare questo esercizio sulle equazioni differenziali lineari. Il testo è il seguente:
Determinare tutte le soluzioni dell'equazione differenziale
Posso supporre che \( x>0 \) e cerco una soluzione in \( (0,+\infty) \).
L'equazione differenziale risulta equivalente a \( y''(x)+\dfrac{4}{x}y'(x)+\dfrac{2}{x^2}y(x)=1+\dfrac{1}{x^3} \) che è un'equazione differenziale lineare a coeff continui in \( (0,+\infty) \).
Date le condizioni iniziali \( y(x_0)=y_0 \) e \( y'(x_0)=y_1 \) il problema di Cauchy associato ha sicuramente un'unica soluzione ma come le trovo al variare della condizione iniziale?
Di solito all'università si usavano metodi come variazione delle costanti ma non saprei come applicarlo perché non saprei come individuare le due funzioni con cui costruire la soluzione.
Vi ringrazio anticipatamente!
Mi sono ritrovato a fare questo esercizio sulle equazioni differenziali lineari. Il testo è il seguente:
Determinare tutte le soluzioni dell'equazione differenziale
\( x^2y''(x)+4xy'(x)+2y(x)=x^2+\dfrac{1}{x} \)
che soddisfano la condizione \( \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}} x^2y(x)=0 \)Posso supporre che \( x>0 \) e cerco una soluzione in \( (0,+\infty) \).
L'equazione differenziale risulta equivalente a \( y''(x)+\dfrac{4}{x}y'(x)+\dfrac{2}{x^2}y(x)=1+\dfrac{1}{x^3} \) che è un'equazione differenziale lineare a coeff continui in \( (0,+\infty) \).
Date le condizioni iniziali \( y(x_0)=y_0 \) e \( y'(x_0)=y_1 \) il problema di Cauchy associato ha sicuramente un'unica soluzione ma come le trovo al variare della condizione iniziale?
Di solito all'università si usavano metodi come variazione delle costanti ma non saprei come applicarlo perché non saprei come individuare le due funzioni con cui costruire la soluzione.
Vi ringrazio anticipatamente!
Risposte
Come idea puoi assumere che la soluzione dell'omogenea sia un monomio del tipo $x^n, n \in ZZ$.
L'eq. omogenea diventa
$(n(n-1) + 4n + 2) x^n = 0 $
$(n^2 + 3n + 2) x^n = 0 $
che come soluzioni ha $n = -2, -1$
ovvero $y(x) = c_1/x + c_2/x^2$
Queste non e' la soluzione completa
La condizione
\( \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}} x^2y(x)=0 \)
implica pero' di escludere $c_2/x^2$
L'eq. omogenea diventa
$(n(n-1) + 4n + 2) x^n = 0 $
$(n^2 + 3n + 2) x^n = 0 $
che come soluzioni ha $n = -2, -1$
ovvero $y(x) = c_1/x + c_2/x^2$
Queste non e' la soluzione completa
La condizione
\( \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}} x^2y(x)=0 \)
implica pero' di escludere $c_2/x^2$
"Quinzio":
Come idea puoi assumere che la soluzione dell'omogenea sia un monomio del tipo $x^n, n \in ZZ$.
L'eq. omogenea diventa
$(n(n-1) + 4n + 2) x^n = 0 $
$(n^2 + 3n + 2) x^n = 0 $
che come soluzioni ha $n = -2, -1$
ovvero $y(x) = c_1/x + c_2/x^2$
Queste non e' la soluzione completa
La condizione
\( \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}} x^2y(x)=0 \)
implica pero' di escludere $c_2/x^2$
Grazie per la risposta. Come ti è venuta l’idea di prendere come possibile soluzione la funzione \( y(x)=x^n \)? Che metodo usi?
Temo che la risposta sia: nessun metodo...
L'idea mi e' venuta vedendo che $y'$ (che abbassa di uno la potenza) e' moltiplicata per $x$, e $y''$ per $x^2$.
Quindi il grado del polinomio si mantiene costante.
L'idea mi e' venuta vedendo che $y'$ (che abbassa di uno la potenza) e' moltiplicata per $x$, e $y''$ per $x^2$.
Quindi il grado del polinomio si mantiene costante.
Ciao mauri54,
L'equazione differenziale proposta è un'equazione di Eulero, ne sono state risolte diverse su questo stesso forum. La soluzione generale è la seguente:
$y(x) = y_o(x) + y_p(x) = c_1/x + c_2/x^2 + x^2/12 + (ln x)/x $
La condizione $ \lim_{x \to 0^{+}} x^2y(x) = 0 $ implica $c_2 = 0 $, sicché tutte le soluzioni dell'equazione differenziale proposta sono le seguenti:
$y(x) = c_1/x + x^2/12 + (ln x)/x $
L'equazione differenziale proposta è un'equazione di Eulero, ne sono state risolte diverse su questo stesso forum. La soluzione generale è la seguente:
$y(x) = y_o(x) + y_p(x) = c_1/x + c_2/x^2 + x^2/12 + (ln x)/x $
La condizione $ \lim_{x \to 0^{+}} x^2y(x) = 0 $ implica $c_2 = 0 $, sicché tutte le soluzioni dell'equazione differenziale proposta sono le seguenti:
$y(x) = c_1/x + x^2/12 + (ln x)/x $
Grazie ad entrambi.
Si è vero è un'equazione di Eulero...non me ne ero reso conto. Ho trovato sul Cecconi-Stampacchia che posso svolgerla sia con la sostituzione \( x=e^t \) riconducendomi ad un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti, sia con il metodo suggerito da pilloeffe. Poi con il metodo di somiglianza trovo le soluzioni particolari e vado in fondo.
Il dominio della soluzione si deduce sempre dal tipo di sostituzione che faccio? Quindi se sostituisco con \( x=-e^t \) la mia \( x \) sarà positiva oppure se sostituisco con \( x=-e^t \) la \( x \) sarà negativa. La soluzione quindi sarà definita in tutto \( \mathbb{R}\setminus\{0\} \).
Si è vero è un'equazione di Eulero...non me ne ero reso conto. Ho trovato sul Cecconi-Stampacchia che posso svolgerla sia con la sostituzione \( x=e^t \) riconducendomi ad un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti, sia con il metodo suggerito da pilloeffe. Poi con il metodo di somiglianza trovo le soluzioni particolari e vado in fondo.
Il dominio della soluzione si deduce sempre dal tipo di sostituzione che faccio? Quindi se sostituisco con \( x=-e^t \) la mia \( x \) sarà positiva oppure se sostituisco con \( x=-e^t \) la \( x \) sarà negativa. La soluzione quindi sarà definita in tutto \( \mathbb{R}\setminus\{0\} \).
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