Equazione differenziale del II ordine
Salve ragazzi, ho qualche problema con questo esercizio:
Devo risolvere il seguente problema di Cauchy e in più devo successivamente determinare $ lim_(nrarrinfty)y(x) $
$ { ( y''-2y'+4y=12+14e^-x ),( y(0)=1 ),( y'(0)=0):} $
Equazione omogenea associata: $ y''-2y'+4y=0 $
$ z^2-2z+4=0 $
[tex]\frac{\triangle}{4} = -1[/tex]
$ z_1, z_2 = 1±i $
Dunque:
$ y(x)=e^x(C_1sin(x)+C_2cos(x)) $
Dato che $ 12+14e^-x $ non è soluzione dell'omogenea associata, cerco una soluzione particolare della forma
$ bar(y)(x) = ae^x = bar(y)'(x) = bar(y)''(x) $ (sulla scelta della soluzione particolare non sono molto sicuro)
Sostituendo all'ED ho che
\( ae^x-2(ae^x)+4(ae^x)=12+14e^{-x} \Longrightarrow 3ae^x=12+14e^{-x} \Longrightarrow \)
\( \Longrightarrow a= \frac{12+14e^{-x}}{3e^x} \)
Dunque:
\( y(x) =\frac{12+14e^{-x}}{3\cancel{e^{x}}}\cancel{e^x}+e^x(C_1sin(x)+C_2cos(x)) = \)
$ =4+ 14/3e^-x+e^xC_1sin(x)+ e^xC_2cos(x) $
$ y'(x)=-14/3e^-x+e^xC_1sinx+e^xC_1cosx + e^xC_2cosx-e^xC_2sinx $
In base alle condizioni iniziali del sistema ho che:
\( \begin{cases} 4+\frac{14}{3}+C_2=1 \\ -\frac{14}{3}+C_1+C_2=0 \end{cases} \Longrightarrow \)
\( \Longrightarrow \begin{cases} C_2= -3-\frac{14}{3}= -\frac{23}{3}\\ \longrightarrow \end{cases} \Longrightarrow \)
\(\Longrightarrow\begin{cases} C_2=-\frac{23}{3} \\ C_1=\frac{14}{3}+\frac{23}{3}=\frac{37}{3} \end{cases} \)
Dunque:
$ y(x)=4+14/3e^-x+37/3e^xsinx-23/3e^xcosx $
Il limite è indefinito, in quanto si tratta di una funzione che presenta $sinx$ e $cosx$, che sono funzioni a segno alterno.
È giusto il mio esercizio? Ringrazio in anticipo!
Devo risolvere il seguente problema di Cauchy e in più devo successivamente determinare $ lim_(nrarrinfty)y(x) $
$ { ( y''-2y'+4y=12+14e^-x ),( y(0)=1 ),( y'(0)=0):} $
Equazione omogenea associata: $ y''-2y'+4y=0 $
$ z^2-2z+4=0 $
[tex]\frac{\triangle}{4} = -1[/tex]
$ z_1, z_2 = 1±i $
Dunque:
$ y(x)=e^x(C_1sin(x)+C_2cos(x)) $
Dato che $ 12+14e^-x $ non è soluzione dell'omogenea associata, cerco una soluzione particolare della forma
$ bar(y)(x) = ae^x = bar(y)'(x) = bar(y)''(x) $ (sulla scelta della soluzione particolare non sono molto sicuro)
Sostituendo all'ED ho che
\( ae^x-2(ae^x)+4(ae^x)=12+14e^{-x} \Longrightarrow 3ae^x=12+14e^{-x} \Longrightarrow \)
\( \Longrightarrow a= \frac{12+14e^{-x}}{3e^x} \)
Dunque:
\( y(x) =\frac{12+14e^{-x}}{3\cancel{e^{x}}}\cancel{e^x}+e^x(C_1sin(x)+C_2cos(x)) = \)
$ =4+ 14/3e^-x+e^xC_1sin(x)+ e^xC_2cos(x) $
$ y'(x)=-14/3e^-x+e^xC_1sinx+e^xC_1cosx + e^xC_2cosx-e^xC_2sinx $
In base alle condizioni iniziali del sistema ho che:
\( \begin{cases} 4+\frac{14}{3}+C_2=1 \\ -\frac{14}{3}+C_1+C_2=0 \end{cases} \Longrightarrow \)
\( \Longrightarrow \begin{cases} C_2= -3-\frac{14}{3}= -\frac{23}{3}\\ \longrightarrow \end{cases} \Longrightarrow \)
\(\Longrightarrow\begin{cases} C_2=-\frac{23}{3} \\ C_1=\frac{14}{3}+\frac{23}{3}=\frac{37}{3} \end{cases} \)
Dunque:
$ y(x)=4+14/3e^-x+37/3e^xsinx-23/3e^xcosx $
Il limite è indefinito, in quanto si tratta di una funzione che presenta $sinx$ e $cosx$, che sono funzioni a segno alterno.
È giusto il mio esercizio? Ringrazio in anticipo!
Risposte
"jigen45":
Equazione omogenea associata: $ y''-2y'+4y=0 $
$ z^2-2z+4=0 $
[tex]\frac{\triangle}{4} = -1[/tex]
$ z_1, z_2 = 1±i $
Dunque:
$ y(x)=e^x(C_1sin(x)+C_2cos(x)) $
Non mi torna il $Delta/4$...
$Delta=b^2-4ac=4-4 cdot 4=-12$
$=>{(alpha=1),(beta=sqrt3):}$
$=>y_text(omogenea)=e^x[c_1 cos(sqrt3x)+c_2 sin(sqrt3x)]$
A parte il problema già segnalato, tu cerchi un integrale particolare della EDO completa nella forma \(ae^x\), con \(a\) costante... E po ti ritrovi un \(a\) che dipende dalla variabile \(x\)?
Vedi da solo che c'è qualcosa che concettualmente non va.
Vedi da solo che c'è qualcosa che concettualmente non va.
"Brancaleone":
[quote="jigen45"]
Equazione omogenea associata: $ y''-2y'+4y=0 $
$ z^2-2z+4=0 $
[tex]\frac{\triangle}{4} = -1[/tex]
$ z_1, z_2 = 1±i $
Dunque:
$ y(x)=e^x(C_1sin(x)+C_2cos(x)) $
Non mi torna il $Delta/4$...
$Delta=b^2-4ac=4-4 cdot 4=-12$
$=>{(alpha=1),(beta=sqrt3):}$
$=>y_text(omogenea)=e^x[c_1 cos(sqrt3x)+c_2 sin(sqrt3x)]$
[/quote]Sì, è giusto, è stato un errore di calcolo, grazie per avermelo fatto notare
"gugo82":
A parte il problema già segnalato, tu cerchi un integrale particolare della EDO completa nella forma \(ae^x\), con \(a\) costante... E po ti ritrovi un \(a\) che dipende dalla variabile \(x\)?
Vedi da solo che c'è qualcosa che concettualmente non va.
Sì, però devo determinare la $ a $ ?.. Dove sbaglio?.. Inoltre, la scelta della forma della soluzione particolare è giusta?
Non riesco a trovare uno specchietto informativo che sia chiaro sul metodo di somiglianza..
Puoi notare che prendere $bary(x)=ae^x$ non è una scelta azzeccata - innanzitutto il membro di destra della tua equazione presenta $e^(-x)$: non apparirà mai nei tuoi conti se non lo inserisci! Inoltre lo stesso membro di destra presenta una costante, e per come è costruita l'equazione tale costante non apparirà mai nei tuoi conti impiegando la soluzione particolare che hai provato.
Prova invece con $bary(x)=a+be^(-x)$
Prova invece con $bary(x)=a+be^(-x)$
Ah quindi devo inserire una forma identica a quella che compare.. Io credevo che invece bisognava utilizzare delle forme predefinite, come $ ae^x $ quando compariva l'esponenziale ecc.
P.S. Quindi la determinazione delle costanti si fa per confronto con il membro di destra, senza imporre sistemi?
Ad esempio in questo caso in base ai calcoli ho:
$ 7be^(-x)+4a=12+14e^(-x) $
Quindi, affinchè il primo membro sia uguale al secondo, posso dire che
$ a = 3 $
$ b = 2 $
È giusto il ragionamento? Ringrazio in anticipo..
P.S. Quindi la determinazione delle costanti si fa per confronto con il membro di destra, senza imporre sistemi?
Ad esempio in questo caso in base ai calcoli ho:
$ 7be^(-x)+4a=12+14e^(-x) $
Quindi, affinchè il primo membro sia uguale al secondo, posso dire che
$ a = 3 $
$ b = 2 $
È giusto il ragionamento? Ringrazio in anticipo..
"jigen45":
Ah quindi devo inserire una forma identica a quella che compare.. Io credevo che invece bisognava utilizzare delle forme predefinite, come $ ae^x $ quando compariva l'esponenziale ecc.
No, non devi inserire una forma identica a quella che compare: devi scegliere una forma che (tenendo conto dei termini che usciranno derivando) "copra" tutti i termini del membro di destra. In questa equazione casualmente la forma è identica.
"jigen45":
P.S. Quindi la determinazione delle costanti si fa per confronto con il membro di destra, senza imporre sistemi?
Sì. Una volta che hai trovato la forma giusta sostituisci i termini trovati nell'equazione di partenza.
${ ( bary=a+be^(-x) ),( =>bary'=-be^(-x) ),( =>y''=be^(-x) ):}$
Sostituendo:
$be^(-x)+2be^(-x)+4(a+be^(-x))=12+14e^(-x)$
da cui
${ ( 4a=12=>a=3 ),( b+2b+4b=14=>b=2 ):}$
che inserirai nell'omogenea.
Ora basta imporre le condizioni iniziali trovando così l'integrale al problema
Grazie mille. Quindi la completa (prima di determinare le costanti) è:
$ y(x)=12+14e^(-x)+e^x(C_1cos(sqrt(3)x)+C_2sin(sqrt(3)x)) $
Giusto?
P.S. che mi dici del limite che ho determinato alla fine del messaggio?
$ y(x)=12+14e^(-x)+e^x(C_1cos(sqrt(3)x)+C_2sin(sqrt(3)x)) $
Giusto?
P.S. che mi dici del limite che ho determinato alla fine del messaggio?
"jigen45":
Quindi la completa (prima di determinare le costanti) è:
$ y(x)=12+14e^(-x)+e^x(C_1cos(sqrt(3)x)+C_2sin(sqrt(3)x)) $
No... se $a=3$ e $b=2$ allora
$y(x)=y_text(omogenea)+bary=e^x[c_1 cos(sqrt3x)+c_2 sin(sqrt3x)]+3+2e^(-x)$
"jigen45":
P.S. che mi dici del limite?
Determina prima la soluzione finale
Sì, giusto hai ragione. Se non ho sbagliato i calcoli, la soluzione dovrebbe essere:
$ y(x)=-4e^xcos(sqrt(3)x)+2sqrt(3)e^xsin(sqrt(3)x)+3+2e^(-x) $
Le conclusioni riguardo al limite che avevo fatto nel primo messaggio sono corrette? Grazie!
$ y(x)=-4e^xcos(sqrt(3)x)+2sqrt(3)e^xsin(sqrt(3)x)+3+2e^(-x) $
Le conclusioni riguardo al limite che avevo fatto nel primo messaggio sono corrette? Grazie!
"jigen45":
Sì, giusto hai ragione. Se non ho sbagliato i calcoli, la soluzione dovrebbe essere:
$ y(x)=-4e^xcos(sqrt(3)x)+2sqrt(3)e^xsin(sqrt(3)x)+3+2e^(-x) $
"jigen45":
Le conclusioni riguardo al limite che avevo fatto nel primo messaggio sono corrette? Grazie!
Il limite non esiste
Ok!! Grazie mille a te e a gugo82 per esservi prodigati nell'aiutarmi!! 
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